MissHuang教你轻松搞定正切函数

MissHuang教你轻松搞定正切函数

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1.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/369177164

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/138486224

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https://www.sohu.com/a/838715911_267471

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/82091846

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https://www.bilibili.com/video/BV1NV4y1h7Zx/

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http://www.360doc.com/content/23/0302/13/81782081_1070116170.shtml

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http://res.tongyi.com/resources/article/student/others/201103120133/g1/22.htm

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https://www.bilibili.com/video/BV1ED4y1772J/

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http://www.360doc.com/content/20/0921/16/46135865_936883795.shtml

备战高考的小伙伴们看过来！今天MissHuang为大家带来正切函数的全面解析，从基础概念到解题技巧，让你轻松掌握这个重要的三角函数。

正切函数是三角函数中的一种，通常表示为 (y = \tan x)。它的定义基于直角三角形的对边与邻边之比，也可以通过正弦和余弦函数来定义：
[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
]

性质解析

1. 周期性：正切函数的最小正周期为 (\pi)。这意味着函数的图像每隔 (\pi) 个单位就会重复一次。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，满足 (\tan(-x) = -\tan(x))。这表明函数图像关于原点对称。

3. 单调性：在每个区间 ((- \frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi))，(k \in \mathbb{Z}) 内，正切函数都是单调递增的。

4. 值域：正切函数的值域是全体实数 (\mathbb{R})。

5. 零点：当 (x = k\pi)，(k \in \mathbb{Z}) 时，函数值为0。

图像绘制

正切函数的图像很有特点，让我们来看看如何绘制：

1. 单位圆法：在单位圆中，过点（1，0）做x轴的垂线L，在单位圆中以x轴正方向为起始边，找到角度x的终边，延长至与L相交，所交点的纵坐标就是角度x的正切函数的值。

2. 性质扩展：由于正切函数是奇函数，我们可以将 (x \in [0, \frac{\pi}{2})) 的图像绕原点对称得到 (x \in (-\frac{\pi}{2}, 0]) 的图像。再利用周期性，将 ((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})) 的图像向左、向右平移 (\pi) 个单位，就可以得到完整的正切函数图像。

例题1：计算型题目

计算 (\tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}+\tan 25^{\circ} \tan 50^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 15^{\circ})。

解题思路：观察到题目中同时出现了 (\tan \alpha \tan \beta) 和 (\tan \alpha + \tan \beta) 的形式，可以利用正切函数的和差公式进行转换。

[
\tan \alpha + \tan \beta = \tan (\alpha + \beta)(1 - \tan \alpha \tan \beta)
]

将 (\tan 15^{\circ} + \tan 25^{\circ}) 替换为 (\tan (15^{\circ} + 25^{\circ})(1 - \tan 15^{\circ} \tan 25^{\circ}))，化简后得到原式等于1。

例题2：比较大小

比较 (\tan 123^\circ) 与 (\tan 256^\circ) 的大小。

解题思路：首先将角度转换到 ((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})) 的范围内，利用正切函数的单调性进行比较。

[
\tan 123^\circ = \tan(123^\circ - 180^\circ) = \tan(-57^\circ) = -\tan 57^\circ
]
[
\tan 256^\circ = \tan(256^\circ - 180^\circ) = \tan 76^\circ
]

由于 (\tan x) 在 ((0, \frac{\pi}{2})) 内单调递增，所以 (\tan 57^\circ < \tan 76^\circ)，从而 (-\tan 57^\circ > -\tan 76^\circ)，即 (\tan 123^\circ > \tan 256^\circ)。

例题3：图象变换

已知函数 (y = A\tan(\omega x + \varphi))（(A > 0) 且 (A \neq 1)，(\omega > 0)）的图象，如何通过变换得到？

解题思路：图象变换主要包括振幅变换、周期变换和相位变换。

1. 振幅变换：(y = A\tan x) 的图象可以看作把正切曲线上的所有点的纵坐标变为原来的 (A) 倍。

2. 周期变换：函数 (y = \tan \omega x) 的图象，可看作把正切曲线上所有点的横坐标变为原来的 (\frac{1}{\omega}) 倍（纵坐标不变）。

3. 相位变换：函数 (y = \tan(x + \varphi)) 的图象，可以看作把正切曲线上所有点向左（当 (\varphi > 0) 时）或向右（当 (\varphi < 0) 时）平行移动 (|\varphi|) 个单位长度。

1. 记忆性质：通过理解诱导公式来记忆正切函数的性质，比如 (\tan(a + \pi) = \tan a) 和 (\tan(-a) = -\tan a)。

2. 解题技巧：

   • 遇到 (\tan \alpha + \tan \beta) 和 (\tan \alpha \tan \beta) 同时出现时，优先考虑和差公式。
   • 比较大小时，先将角度转换到主值区间内再进行比较。
   • 图象变换问题要注意变换顺序，通常是先相位变换，再周期变换，最后振幅变换。

3. 易错点：

   • 注意正切函数的定义域，避免在 (\cos x = 0) 的点上进行运算。
   • 在进行图象变换时，横纵坐标的变换方向容易混淆。

4. 复习建议：

   • 多做练习题，尤其是历年高考真题。
   • 定期复习基础知识，确保性质和公式烂熟于心。
   • 尝试自己绘制正切函数的图像，加深理解。

希望这篇教程能帮助大家更好地掌握正切函数的相关知识。记住，数学学习重在理解，而不是死记硬背。多思考、多练习，你一定会在考试中取得好成绩的！