夏至 | K3曲面
夏至 | K3曲面
K3曲面是数学中一个非常重要的概念，它在复几何和代数几何领域有着广泛的应用。本文将带你走进K3曲面的世界，探索这个神秘的数学对象。
数学的纹路24-10
K3曲面[K3 surface]
主属领域：复几何 代数几何
相关知识：微分几何 计数几何 数学物理
在复几何和代数几何领域有这样一类曲面，它的命名既是向三位同以字母K开头的伟大几何学家致敬，又是大数学家André Weil拿世界第二高峰[注释1]开的一个玩笑[注释2]。
K3曲面是单连通的典范丛平凡的紧复曲面。首先解释一下：几何学家研究曲线、曲面等几何对象，这类对象在更高的维度被称为“流形”。而所谓复曲面，指的是复二维、实四维的流形。四个维度意味着我们无法用肉眼观测到一个复曲面的全貌，只能通过推理和想象。借助于抽象工具，人们在K3曲面简洁的定义里发现了许多美丽而深刻的性质。关于K3曲面的内容可以写厚厚的一本书[文献1]，我在这里只能略谈一二。
K3曲面都具有相同的拓扑和微分结构。换句话说，所有的K3曲面作为实四维微分流形都是一样的。但K3曲面却有着多种多样的复结构。事实上，给定K3曲面，复结构，以及一个Kähler类，则存在Kähler度量以及另外两种不同的复结构和都使得成为一个Kähler流形。这三种复结构满足著名的四元数关系：
不止这些，任何实数如果满足 ，都给出一个与 相容的复结构 。也就是说，与 相容的复结构有二维球面那么多。这种奇特性质称为“超Kähler”，于是K3曲面也可定义为单连通的紧超Kähler曲面。此外，通过研究代数K3曲面的凝聚层模空间，人们可以构造更高维的紧超Kähler流形。
K3曲面的很多例子来自代数几何[注释3]，其中最著名的要数三维射影空间中的光滑四次曲面。设是复射影空间 上的齐次坐标，则关于 的一个非退化四次齐次多项式的零点集构成一个K3曲面。例如:
是一个K3曲面，称为Fermat K3曲面。
这里“四次”是一个重要的临界点。很久以前人们就知道光滑二次曲面是“直纹面”，被两组直线覆盖，而光滑三次曲面上恰有27条直线。但不论是二次还是三次，二者都属于“有理曲面”，特别地，它们上面有丰富的有理曲线。所谓“有理曲线”，是指可以用有理函数参数化的曲线，例如直线就是有理曲线的一种。与二次和三次情形截然不同的是五次及以上的光滑曲面——人们知道此时一个一般的曲面上没有任何有理曲线。
那么K3曲面上有多少有理曲线呢？这是一个十分精彩的问题。首先如果规定了K3曲面上的曲线类，则答案是有且仅有有限条有理曲线。事实上，如果把一个一般的次[注释4]不可约曲线类里面的有理曲线个数记为 ，然后把这些 放在一起做成一个生成函数，则这个函数恰好由一个模形式[注释5]的Fourier展开给出：
这就是著名的Yau-Zaslow公式。该公式的严格证明历经十余年，从Beauville，Bryan-Leung等人的结果开始，最终完整版本由Klemm-Maulik-Pandharipande-Scheidegger[注释6]四个人于2010年发表[文献2]。
那如果不规定K3曲面上的曲线类呢？如果考虑一个给定K3曲面上所有的有理曲线，会有多少条呢？这又是一个十分困难的问题。对这一问题的研究包括陈晞，Bogomolov-Hassett-Tschinkel，李骏-Liedtke等人的一系列工作，最近由陈晞-Gounelas-Liedtke[文献3]给出了最终答案：每个K3曲面上都有无穷多条互不重复的有理曲线！
K3曲面的美好性质吸引了代数几何、微分几何、算术、数学物理等许多方向的数学家。每当有新的理论诞生，K3曲面总是数学家最钟爱的试验田之一。另外，丰富的对称性也使K3曲面成为了代数曲面界的“颜值担当”。你能猜到下面哪个是（带奇点的）K3曲面在实数上的图像吗？
图片版权人:Herwig Hauser, Sebastian Gann, Christian Stussak
来源:www.imaginary.org, www.mfo.de
注释
1.乔戈里峰，又称K2峰，位于我国和巴基斯坦边境，其攀登难度远超珠穆朗玛峰。
2. André Weil, 1958: “Dans la seconde partie de mon rapport, il s’agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l’honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.”
3.在余下的讨论中，我们只考虑代数K3曲面。
4.K3曲面上的曲线类次数皆为偶数。
5.这里的定义详见：芒种 | 椭圆曲线 。
6.Emanuel Scheidegger是北京国际数学研究中心副教授。
文献
- D. Huybrechts, Lectures on K3 surfaces. Cambridge Studies in Advanced Mathematics , 158. Cambridge University Press, Cambridge, 2016. xi+485 pp.
- A. Klemm, D. Maulik, R. Pandharipande, E. Scheidegger, Noether-Lefschetz theory and the Yau-Zaslow conjecture. J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), no. 4, 1013 - 1040.
- X. Chen, F. Gounelas, Ch. Liedtke, Curves on K3 surfaces. Duke Math. J. , to appear.