圆周角定理（Inscribed Angle Theorem）详解

圆周角定理（Inscribed Angle Theorem）详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/chenbb1989/article/details/140660114

圆周角定理（Inscribed Angle Theorem）是几何学中的一个重要定理，描述了圆上任意三点形成的圆周角与圆心角之间的关系。具体来说，如果点p和q是圆C上的两个不同点，r是圆上除p和q外的任意一点，那么∠prq（当r与圆心c在pq异侧时，取外角）等于∠pcq的一半。

证明

情况1：pq经过圆心c

当pq经过圆心c时，∠prq显然是直角，此时定理显然成立。

情况2：r点与c在pq同侧（c在三角形prq内部）

在这种情况下，可以通过作辅助线来证明定理。如下图所示：

要证明的结论是：α + β = 1/2 * δ

由三角形内角和可知：
2 * (α + β + γ) = π （1）
2 * γ + δ = π （2）

将（1）和（2）两式组合可得：
δ = 2 * (α + β)

因此，结论1得证。

情况3：r点与c在pq同侧（c不在三角形prq内部）

在这种情况下，由于圆上的弦在同侧的圆周角相同，也可以得到相同的结论。

情况4：r点与c在pq异侧

在这种情况下，可以通过作辅助线来证明定理。如下图所示：

由于r'在圆上，可以知道θ + ϕ = π，ϕ对应的外角为π + θ。根据前面的结论1可知：
(π + θ) mod π = θ = 1/2 * ∠pcq

综上所述，圆周角定理得证。