傅里叶和他的热流之谜
傅里叶和他的热流之谜
傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier）是18世纪末至19世纪初法国杰出的数学家、物理学家、埃及古物学家、统计学家和公务员。他发现了热传导的基本方程，并找到了求解方程的方法，解开了热流之谜。傅里叶最著名的作品——《热的解析理论》，为理论数学、应用数学、数学物理等开创了一个新纪元。
傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier），1768年3月21日出生于法国欧塞尔（Auxerre）。他的父亲是一名裁缝，结过两次婚，第二任妻子生下了傅里叶。不幸的是，傅里叶的母亲在他九岁时去世，一年后他的父亲也去世了，自此成了孤儿。
开始读书的傅里叶极其认真，在一所由大教堂开办的学校里学习了拉丁语和法语。1780年，他去了欧塞尔皇家军事学校，十二三岁的年纪里，数学成了他的爱好。1790年，法国大革命的理想使他卷入了政治冲突，他一度被送进监狱，甚至危及性命。
获释后，他专注于提高自己的教学技能，师从拉格朗日、拉普拉斯等大师，开启了进一步的数学研修。1795年9月，傅里叶回到了巴黎综合理工学院，并于1797年接替拉格朗日担任分析和力学系主任。1798年，年仅30岁的傅里叶作为科学顾问，跟随拿破仑远征埃及。他在那里见证了法国舰队如何占领马耳他、亚历山大和开罗。
1798年8月1日，法国舰队全部被纳尔逊的舰队歼灭，拿破仑远征军被困在所占领的土地上。就是在这种情势下，傅里叶在埃及就地展开考古挖掘行动。直到1801年，在战争结束之前，傅里叶带着一系列考古物品返回了法国，其中包括著名的罗塞塔石碑的副本。
傅里叶回到法国后继续担任巴黎综合理工学院的分析教授，但在拿破仑的要求下，他去了格勒诺布尔（Grenoble）担任行政职务。他任职14年，政绩斐然。在此期间，傅里叶促成了《埃及描述》的问世。以破译罗塞塔石碑象形文字而闻名的埃及学之父商博良，当初正是受到了傅里叶的鼓励和支持而从事埃及学研究的。
也正是在这一时期，傅里叶发现了热传导的基本方程，并用新的数学方法解答了这些方程，还将研究的成果运用于实际情况，用实验测试了其结果。
在19世纪之前，热量一直是一个谜。尽管可以通过跟踪高温物体冷却过程中温度变化来测量它，但却没有人知道物体的内部发生了什么。1807年，傅里叶利用微积分解开了热流之谜。他提出了一个偏微分方程，可以用于预测物体在冷却过程中的温度变化。
令人吃惊的是，无论冷却之初的物体各处的温度有多么不均匀，这个偏微分方程都能轻松搞定。假设有一根又细又长的圆柱形铁棒在锻炉里被不均匀地加热，铁棒的周身散布着一些热点和冷点。为了简化问题，假定铁棒的热量不会向铁棒外散失。
那么，热流的唯一传导路径是沿着铁棒的长度方向从铁棒的热点扩散到铁棒冷点。实验证明，铁棒上某一点的温度变化率，与该点的温度与其两侧（无限接近的）相邻点的平均温度差成正比。
在理想化的条件下，热流的物理过程变得简单了。如果一个点比其相邻点冷，它就会升温，如果一个点比其相邻点热，它就会降温。彼此间温差越大，温度平衡的速度就越快。直到这个点处的温度恰好等于周边相邻点的平均温度，一切就平衡了，热量不再流动，这个点处的温度在下一个瞬间也会保持不变。
通过比较一个点的瞬时温度与其相邻点的瞬时温度，傅里叶建立了一个偏微分方程，也就是现在我们所说的热传导方程。热传导方程包含两个自变量的导数，一个是时间(t)的无穷小变化量，另一个是铁棒上位置(d)的无穷小变化量。
设置这两个问题的难点在于，热点和冷点的初始状态可能是杂乱无章的。为了解决这个一般性问题，傅里叶提出了一个看上去太过理想的方法。他设想用一个等效的简单正弦波之和，来代替任意一种初始温度分布模式。正弦波是这一奇特想法的构建单元，也就是说如果温度分布一开始就是正弦波模式，那么随着物体冷却，温度分布仍会保持这种模式。
这一奇思妙想的关键在于，正弦波不会四处移动，但会随着热点降温而冷点升温时，正弦波会减弱。而这种衰减也易于处理，它仅表示随着时间的推移，温度变化趋于平缓。如下图虚线正弦波所示，初始温度分布会逐渐减弱，慢慢趋于温度达到平衡后的实线波形。
重要的是，当正弦波减弱时，它们是静止不动了，也就是说，它们是驻波。如果能找到将原始温度模式分解成正弦波的方法，就能分别解决每个正弦波的热流问题。其实每个正弦波都会发生指数式衰减，其衰减的速度取决于它有多少个波峰和波谷。波峰越多的正弦波衰减得越快，因为其热点和冷点更紧凑地堆积在一起，这使得它们之间的热交换更迅速，从而更快地达到热平衡。
在了解了每个正弦波的衰减之后，要解决原始问题，则只需要把它们重新组合起来。这一切的难点在于，傅里叶不经意间调用了正弦波的无穷级数。他没有使用三角形碎片或者三角形数的无穷级数和，而是漫不经心地采用了波的无穷级数和。傅里叶的正弦波是从微分方程本身自然产生的，也可以说它们是微分方程的固有振动模态，或者固有驻波模式，是为热流量身定做的。
他大胆使用正弦波作为构建单元，引发了巨大争议，也带来了棘手的严密性问题，后世数学家更是花了一个世纪的时间解决它。然而，在我们的时代，傅里叶的伟大思想在计算机语言合成器和医疗成像的扫描技术中，都发挥了重要的作用。
傅里叶于1830年5月16日逝于巴黎，终年62岁。他是法国杰出的数学家、物理学家、埃及古物学家、统计学家和公务员，他发现了热传导的基本方程，并找到了求解方程的方法，解开了热流之谜。傅里叶最著名的作品——《热的解析理论》，为理论数学、应用数学、数学物理等开创了一个新纪元。
尽管他没有给出明确的条件和严格的证明，但却由此开创出“傅立叶分析”这一重要的数学分支，从而拓广了传统的函数概念。1837年，狄利克雷研究了傅里叶级数理论之后，提出了现代数学中通用的函数定义。1854年，黎曼在讨论傅里叶级数的文章中，第一次阐述了现代数学通用的积分定义。1861年，魏尔斯特拉斯运用三角级数构造出处处连续、而处处不可微的特殊函数。
正是从傅里叶级数提出来的许多问题，引领狄利克雷、黎曼、斯托克斯，还有海涅、康托尔、勒贝格、里斯、费希等人，在实变分析的各个方面获得了卓越的研究成果，由此催生了泛函分析、集合论等新的数学分支建立。傅里叶的学术贡献对纯数学的发展产生了如此深远的影响，兴许这是傅里叶本人及其同时代人都不曾预料的，而且，这种影响至今还在蓬勃发展之中。