气体分子的麦克斯韦-玻尔兹曼分布律

气体分子的麦克斯韦-玻尔兹曼分布律

麦克斯韦-玻尔兹曼分布律是描述气体分子在势场中随速度和位置分布的重要物理定律。本文将从麦克斯韦速率分布出发，深入探讨麦克斯韦-玻尔兹曼分布律的数学表达式及其物理意义，并通过具体实例解释高空空气稀薄和高原缺氧的原因。

平衡态下气体分子的速率可由麦克斯韦速率分布描述。但地球表面的气体都会受到地球的引力，根据实践结果可知，海拔越高空气越稀薄，因此气体分子的分布还与空间位置有关。麦克斯韦-玻尔兹曼分布律则描述了气体分子在势场中随速度和位置的分布，其数学表达式为

$$
f = n_0 \left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}
$$

其中，$f$表示单位相空间(由三个速度分量和三个位置分量张成的六维空间)体积中的分子数，$\varepsilon$表示能量，为势能与动能之和，$n_0$为势能为零处单位体积(由三个位置分量张成的三维空间)内分子数量，$m_0$为分子的质量。此关系可以由波尔兹曼分布(近独立子系组成的系统与波尔兹曼分布)公式推导出来。

将麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数对表示空间位置的坐标积分就可以得到分子关于速度的分布函数，进一步可以求出麦克斯韦速率分布。因此麦克斯韦速率分布是麦克斯韦-玻尔兹曼分布的特殊情况。此外，将麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数对速度分量积分，就可以得到分子数量在空间的分布，其数学表达式为

$$
f' = n_0 e^{-\frac{\varepsilon_p}{kT}}
$$

其中，$f'$表示单位体积内分子数量，即分子的数密度，相当于浓度，$\varepsilon_p$表示势能。在地面附近，分子的重力势能可以表示为$\varepsilon_p=m_0gh$，假设海平面处某种气体的浓度为$c_0$，忽略温度的变化，则海拔为$h$处这种气体的浓度为

也就是说，气体的浓度随海拔的升高呈指数下降，而且分子量越大的气体下降越快。这就是高空空气稀薄以及高原缺氧的原因。