动态规划算法详解——三大基本要素、解题步骤、算法优化和例题详解

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@小白创作中心

动态规划算法详解——三大基本要素、解题步骤、算法优化和例题详解

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CSDN

https://blog.csdn.net/qq_38670588/article/details/108186884

动态规划是算法设计中的一个重要方法，广泛应用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。本文将详细介绍动态规划的基本思想、适用场景、三大基本要素以及解题步骤，并通过斐波那契数列和剑指Offer中的例题进行深入分析。

1动态规划思想

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。动态规划的过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

2适用场景

动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

最优化原理：假设问题的最优解所包括的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
无后效性：即某阶段状态一旦确定。就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响曾经的状态。仅仅与当前状态有关。
有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到（该性质并非动态规划适用的必要条件，可是假设没有这条性质。动态规划算法同其它算法相比就不具备优势）。

3动态规划的三大基本要素

动态规划简单来说就是，利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三大基本要素：

确定状态和保存状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。最简单的就是用数组来保存当前的每一个状态，这个状态就是每个子问题的决策。
确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。
确定边界条件：确定边界条件其实就是跟递归的终止条件是类似的。给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。

4解题步骤

一般，只要解决问题的阶段、状态和状态转移决策确定了，就可以写出状态转移方程（包括边界条件）。根据动态规划的三大基本要素可以设计解题步骤如下：

状态定义：每个状态的决策，存放每个状态的变量，
状态转移方程：当前状态与上一个状态之间的关系
初始状态：初始的状态或者边界条件

5例题分析

5.1斐波拉契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：

F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N^*）

5.1.1递归法求解

由上篇文章递归算法递归算法详解——递归算法的三要素以及例题分析

可以写出递归形式的求解为

class Solution {
    private final int model = 1000000007;
    public int fib(int n) {
        if (n < 2){
            return n;
        }
        return ((fib(n - 1) % model + fib(n - 2) % model )) % model;
    }
}

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。防止溢出。

若用递归法提交答案后可以看出会超出时间限制。

分析可以看出，在递归时会重复计算，如下所示，以F(6)为例：