可逆矩阵的概念、定理、判断条件和性质（线性代数基础）

可逆矩阵的概念、定理、判断条件和性质（线性代数基础）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/JiexianYao/article/details/140703066

可逆矩阵的概念

定义：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得下式成立：

$$
AB = BA = E \quad （E是单位矩阵）
$$

则称 $A$ 是可逆矩阵或者非奇异矩阵，其中 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记做 $A^{-1} = B$

事实上，该公式和数学中倒数的概念很像。对于一个非零实数 $a$，它的倒数定义为另一个数 $b$，满足 $a \cdot b = 1$

倒数 $b$ 可以记做 $a^{-1} = b$

倒数和可逆矩阵这两个数学定义的产生都是为了在以后的数学应用中简化计算。

例如，在求解线性方程组时，逆矩阵被用来解决方程组。例如，对于矩阵方程：

$$
Ax = B
$$

如果矩阵 $A$ 是可逆的，可以通过乘以 $A$ 的逆来解这个方程：

$$
x = A^{-1}B
$$

主要定理

定理1——可逆推唯一：

若 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵唯一。

定理2——可逆与行列式的关系：

$$
A \text{ 可逆} \Leftrightarrow |A| \ne 0
$$

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件

1. 存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $AB = E$ 或 $BA = E$；
2. $|A| \ne 0$，或秩 $r(A) = n$，或 $A$ 的列/行向量线性无关；
3. 齐次方程组 $Ax = 0$ 只有零解；
4. 对于任意向量 $b$，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 总有唯一解；
5. 矩阵 $A$ 特征值全都不为0.

逆矩阵的运算性质

1. 常数与逆矩阵运算同时出现

对于常数 $k \ne 0$，有下式成立

$$
(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}
$$

2. 两矩阵相乘后再进行逆运算

若矩阵 $A$，$B$ 均可逆，则有下式成立

$$
(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
$$

特别地，有

$$
(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2
$$

3. 转置与逆运算同时出现

若 $A^T$ 可逆，则

$$
(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
$$

4. 两次连续逆运算

$$
（A^{-1})^{-1} = A
$$

5. 行列式与逆运算同时出现

$$
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}
$$