约瑟夫森结：打破欧姆定律的量子器件
约瑟夫森结：打破欧姆定律的量子器件
约瑟夫森结是一种由两个超导体通过一层非常薄的绝缘材料相互连接的量子器件。它利用量子隧穿效应让电流在超导体之间传输，而无需直接通过导体。这一现象源于量子力学中的约瑟夫森效应。
什么是约瑟夫森结？
约瑟夫森结（Josephson Junction, JJ）是一种由两个超导体通过一层非常薄的绝缘材料（或正常导体）相互连接的量子器件。它利用量子隧穿效应让电流在超导体之间传输，而无需直接通过导体。这一现象源于量子力学中的约瑟夫森效应。
约瑟夫森效应
JJ的工作主要以约瑟夫森效应(Josephson Effect)的形式进行，包括两种形式：直流约瑟夫森效应和交流约瑟夫森效应。
直流约瑟夫森效应
当没有施加电压时，超导体之间会有一个持续的超导电流流过，即使有绝缘层存在。这个电流被称为约瑟夫森电流。公式如下：
$$
I_s = I_c \sin(\phi)
$$
- $I_s$ 是通过约瑟夫森结的超导电流
- $I_c$ 是约瑟夫森结的临界电流，即最大允许电流
- $\phi$ 是两个超导体间的相位差
这里有两个地方需要进行解释，首先是怎么理解这种现象，其次是什么是超导体的相位差。
1. 违背欧姆定律的量子力学
在传统的导体中，当电流通过时，电阻会产生能量损耗（如热量）。这在经典物理学的框架内适用。也就是说，即使是阻值非常微小的导线，也会存在电阻，有电阻，就会产生电压，可以理解为这个导体间流动的电流，由这个电压驱动。但约瑟夫森电流 $I_s$ 可以在没有施加电压的情况下流动。这个电流 $I_s$ 由两个超导体之间的相位差 $\phi$ 决定的，而不是由电压驱动的。
2. 驱动电流的相位差（略微复杂）
超导波函数的本质：
在超导体中，电子会成对形成库珀对，这些库珀对的集体行为可以通过一个相干的量子波函数来描述。每个超导体中的库珀对的量子态是由波函数来表示的：
$$
\Psi = |\Psi| e^{i\varphi}
$$
- $|\Psi|$ 是波函数的振幅，代表了库珀对的密度。
- $\varphi$ 是波函数的相位，代表了库珀对的量子态。
相较于普通导体中，电子普遍自由运动，其相位都不同步。但超导中的库珀对的相位倾向统一，便可由上述统一的波函数表示。当两个超导体被绝缘层隔开时，它们各自的波函数仍然是独立的，这意味着每个超导体的相位 $\varphi$ 可以不同。此时，它们之间就会存在一个相位差 $\Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2$。
相位差的自然存在：
即使没有施加电压或外部影响，相位差也可能自然存在。其原因是：
- 不同的初始条件：在制造或初始化两个超导体时，它们的波函数相位可以有差异。超导体的量子态受制于各种边界条件和微观量子态，这使得它们的相位可以有所不同。
- 系统的不确定性：量子力学中的系统总是存在一定的不确定性。即使两个超导体的所有外部条件完全相同，由于量子力学的本质，它们的波函数相位也可能不完全一致。这种随机性或微小差异可能导致相位差的产生。
当然，这种相位差也可以通过施加电压的方法外部引入，如果在约瑟夫森结上施加电压，电压会引发两个超导体波函数的相位差随时间演化。根据量子力学的相位演化方程：
$$
\frac{d\varphi}{dt} = \frac{2eV}{\hbar}
$$
相位差会随着时间线性增加，导致通过约瑟夫森结的电流随时间变化（即产生交流约瑟夫森效应），此公式下文会重点介绍。
量子隧穿效应：
约瑟夫森结的特殊性在于，尽管两个超导体被一个绝缘层隔开，但量子隧穿效应允许库珀对穿过这个绝缘层进行传输。当两个超导体被一个薄的绝缘层（或弱耦合层）隔开时，库珀对可以通过隧穿效应从一个超导体移动到另一个超导体。然而，量子隧穿只允许一部分库珀对波函数穿过绝缘层，而不是整个波函数。这意味着，尽管有隧穿电流，两个超导体的波函数相位仍然可以保持一定差异。这个量子隧穿的机制正是导致相位差影响超导电流的原因。两个超导体的波函数相位差将直接影响流经结的超导电流。这种电流与相位差的关系可以通过约瑟夫森方程描述：
$$
I_s = I_c \sin(\Delta \varphi)
$$
其中，超导电流 $I_s$ 与相位差 $\Delta\varphi$ 之间存在正弦关系。这样就得到了一个不由电压驱动的超级导体，流通电流小于 $I_c$。
交流约瑟夫森效应
交流约瑟夫森效应（AC Josephson Effect）发生在约瑟夫森结两端施加恒定电压时，产生一个具有精确频率的交变电流。这一效应可以通过以下公式描述：
$$
\frac{d\varphi}{dt} = \frac{2eV}{\hbar}
$$
其中：
- $V$ 为结两端的电压。
- $\theta$ 为超导波函数在结两侧的相位差。
- $\hbar$ 是约化普朗克常数。
- $e$ 是电子电荷。
通过对时间积分，并将电压式代回约瑟夫森方程，电流 $I_s$ 的表达式为：
$$
I_s = I_c \sin \left( \frac{2eV}{\hbar} t \right)
$$
其中交变电流的频率 $f$ 可以表示为：
$$
f = \frac{2eV}{\hbar}
$$
这一公式表明，交变电流的频率与所施加的直流电压成正比，从而直流电压可以转化为具有极高精度的交流信号。这一特性在电压标准（如NIST电压标准）中具有广泛应用。
RCSJ模型：约瑟夫森结的电特性
为了理解约瑟夫森结的电气特性，通常使用电阻和电容并联结（Resistively and capacitively shunted JJ Model ,RCSJ）模型来表示，它包括以下三个部分：
- 电流源（I）： 表示通过JJ结的超导电流。
- 电阻（R）： 次能隙电阻，表示当电流超过临界电流 $I_c$ 时，结的正常导电状态。
- 电容（C）： 结电容，由超导体之间的绝缘层产生，在高频下尤为重要。
整个结的电流可以表示为：
$$
I = I_c \sin \theta + C \frac{dV}{dt} + \frac{V}{R}
$$
用RCSJ模型模拟约瑟夫森结I-V特性
McCumber参数（$\beta_c$）及其影响
McCumber参数 $\beta_c$ 是为了量化约瑟夫森结的动态特性而引入的，它反映了系统在时间上是如何响应外部激励的。定义如下：
$$
\beta_c = \frac{2e I_c R^2 C}{\hbar}
$$
这个参数的大小用于区分系统的阻尼行为：
- 当 $\beta_c \leq 1$ 时，系统处于过阻尼状态，这意味着结的能量迅速耗散，结可以快速回到超导态。过阻尼的系统更适合高速度应用。
- 当 $\beta_c \gg 1$ 时，系统处于欠阻尼状态，结在动态过程中会出现振荡，并且能量耗散较慢。这种行为通常伴随着结的长时间振荡响应，适合低能量损耗的应用。
实际上，$\beta$ 越大，震荡频率就越高，可以根据上面的频率公式得出。并且对其进行仿真后可以得到其特性如图。通过这种参数化，可以有效地区分约瑟夫森结在不同条件下的工作状态，并根据应用需求进行设计和调节。
当然，$\beta_c$ 为JJ的内部参数，实际上无法通过修改等效电组 $R$ 或者是等效电容 $C$ 来改变 $\beta_c$，一般会在其旁边并联一个电阻来实现对其的调整：
约瑟夫森结的I-V特性
根据上面定义的McCumber参数，约瑟夫森结的电流-电压（I-V）特性可以被展示为两个不同的工作状态：
- $\beta_c \leq 1$： 在此状态下，当电流低于临界电流 $I_c$ 时，结会迅速恢复到超导状态。
- $\beta_c \gg 1$： 在此状态下，系统需要电流大幅低于临界电流后，才能恢复到超导状态。
总结
本文主要补全了在系列文章中埋下的坑，详细的解释了什么是约瑟夫结，其工作原理是什么。如果由任何想法或者是我表述不明白的地方，欢迎评论或是私信探讨。
参考文献
- J. A. Delport, K. Jackman, P. l. Roux and C. J. Fourie, “JoSIM—Superconductor SPICE Simulator,” in IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 29, no. 5, pp. 1-5, Aug. 2019, Art no. 1300905, doi: 10.1109/TASC.2019.2897312. keywords: {Integrated circuit modeling;SPICE;Mathematical model;Analytical models;Engines;Inductors;Josephson junctions;Circuit analysis;circuit simulation;Josephson junctions;SPICE;superconducting integrated circuits},
- Golubov, A. A., Kupriyanov, M. Y., & Il’Ichev, E. (2004). The current-phase relation in Josephson junctions. Reviews of modern physics, 76(2), 411.
- A Short Explanation of the Josephson Effect
- SQUID
- The google scholar of my professor (turly recommand)