一篇文章弄懂变压器的等效原理
一篇文章弄懂变压器的等效原理
变压器是电力系统中不可或缺的设备，它能够实现电压的升降转换，是电力传输和分配的关键环节。本文将从高中和大学两个层次，深入浅出地讲解变压器的等效原理，帮助读者理解这一重要设备的工作机制。
变压器
变压器的主要目的是转换电压的大小，实现升压或降压。通常，单相变压器有两条回路，而三相变压器则有六条回路。我们希望能够在输入端的一条或多条回路中计算各种参数，例如输入端的电流、变压器消耗的电压和功率等。
高中部分变压器的等效电路
在高中阶段的学习中，通常会忽略变压器中线圈的电感因素和电阻。因此，这一部分的等效电路忽略了电感、变压器的电阻电感以及绕组的电感电阻。将实物图转化为更熟悉的电路图如下：
图1：高中阶段的变压器等效电路
虽然这个电路图已经比较熟悉，但两条回路的存在仍然给分析带来一些困难。为了更直观地理解，我们可以将其简化为最简单的电路图：
图2：简化后的变压器等效电路
在图1中，我们有以下公式：
$$
\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2} \
U_1I_1=U_2I_2 \
R_2=\frac{U_2}{I_2}
$$
而在图2中，我们有：
$$
R_2'=\frac{U_1}{I_1}
$$
为了将 $R_2'$ 的计算式变为一系列常数，根据上述四个式子，我们可以得到：
$$
U_1=\frac{n_1}{n_2}U_2 \
I_1=\frac{n_2}{n_1}I_2
$$
最后，
$$
R_2'=\frac{U_1}{I_1}=\frac{n_1^2U_2}{n_2^2I_2}=\frac{n_1^2}{n_2^2}R_2=k^2R_2
$$
其中，$k$ 称之为变比，是一个常数。由此，图2电路中所有的未知参数都得到了，可以进行正常的电路计算了。
大学部分的等效电路
在大学阶段，我们需要考虑变压器的感抗和阻抗，以及线圈的感抗。还是这张图，我们分析，左右两端是一个独立的回路，而联接两个回路的只有磁路，因此我们首先要从磁路部分开始分析，以得到两个回路之间某些参数的关系式，然后根据关系式，建立一个目标等效电路。
图3：大学阶段的变压器等效电路
首先，我们分析初始状态：
初始状态下，变压器二次侧无负载，则一次侧产生空载电流 $I_0sin(\omega t)$，而空载电流是一个交流电，因此在一次侧线圈中会产生交流磁场产生主磁通 $\dot{\varPhi}_m=\varPhi_0sin(\omega t)$，而在二次侧线圈中由磁通量在不断的变化，导致二次侧线圈中产生感应电动势，但是二次侧并未接上负载产生回路，因此，没有办法产生感应电流，既然二次侧没有电流，自然也就无法产生磁场。然而，在变压器的铁芯中，由于有不断变化的磁场，铁芯内部会产生涡旋电流，进而产生热量导致能量消耗。而这里的热量等效到电路上，就是变压器的等效电阻 $R_m$ 产生的热量消耗。然而不得不提的是，变压器除了会产生热量消耗，还会造成电压超前电流的效果，等效来看，就是变压器会给一次侧产生一个等效电感 $Z_m$。
变化后的末状态，在二次侧接入固定数值的负载电阻；
中间的变化状态：
当负载端接入时，感应电动势产生感应电流 $I_2$，由感应电流 $I_2$ 又产生感应磁通 $\varPhi_2sin(\omega t)$ 进而导致变压器铁芯中的主磁通的幅值发生改变变化 $\dot{\varPhi}_m=(\varPhi_0-\varPhi_2)sin(\omega t)$。接下来，由于主磁通的幅值变小，导致一次侧产生的感应电动势 $U_1$ 降低，一次侧的电阻所分担的电压上升，电流由空载电流 $I_0$ 变大为 $I_1$。那么 $I_1$ 又会导致主磁通的幅值变大，导致二次侧的感应电压变大，进而导致二次侧的电流变大。
那么根据上述的阐述，一次侧和二次侧的电流和感应电动势都在相互竞争着变大，然而无论哪一边产生的磁通导致主磁通比初始状态的主磁通大或者小，都会引来相应的变化，那么，平衡状态，就是最终左右两侧的电流，产生的磁通之和等于初始状态时的主磁通（即空载电流产生的磁通）。
用公式来表示这一个平衡状态：
$$
F_0=F_1-F_2
$$
即：
$$
I_0n_1=I_1n_1-I_2n_2
$$
进一步转换：
$$
I_0=I_1-\frac{n_2}{n_1}I_2=I_1-I_2'
$$
$I_2'$ 为等效为一次绕组侧的电流。
那么我们发现，这是一个电流分支的式子，即，$I_1$ 为干路电流，$I_0$ 和 $I_2'$ 为支路电流。那么可以等效成如下电路图。
图4：最终的等效电路图
其实，右侧的负载电阻以及二次绕组电阻的等效变换都如同高中部分所学的一样，并未改变。额外添加的感抗也如同电阻等效变换一样。
只是电路额外添加了一条支路，内部 $R_m'$ 是由变压器内部铁芯能量损耗所等效的电阻，而 $X_m'$ 是变压器电流滞后效应等效而来的感抗。那么，下面直接给出各参数的计算公式：
$$
R_2'=k^2R_2 \
X_2'=k^2X_2 \
R_L'=k^2R_L \
R_m=\frac{P_{Fe}}{I_0^2}
$$
其中，$P_{Fe}$ 表示空载铁芯损耗。最后一个参数，$X_m$ 暂时没有直接的计算方法，应该由题目给出的初始条件计算得出。