枚举几何与镜像对称：数学与物理的完美邂逅

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@小白创作中心

枚举几何与镜像对称：数学与物理的完美邂逅

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来源

https://www.sinica.edu.tw/CP/616

枚举几何是几何学的重要分支，研究在给定条件下有多少满足条件的几何对象。从古希腊时期开始，经过19世纪舒伯特的系统化研究，再到20世纪末镜像对称理论的引入，枚举几何经历了从古典到现代的转变。本文将带你走进这个充满魅力的数学领域，探索它与现代物理学的深刻联系。

枚举几何简史

枚举几何（Enumerative geometry）是几何学的重要分支，是研究在给定条件下有多少满足条件的几何对象的学问。自古希腊以来，已有相关的文献记载。

19世纪，数学家赫尔曼·舒伯特（Hermann Schubert）研究了投影几何中的枚举问题，并发展了相关理论，现今称为舒伯特算术（Schubert calculus）。这种方法影响深远，并可被视为现今模空间（moduli space）上的相交理论（intersection theory）的雏形。

1991年，镜像对称（mirror symmetry）对枚举几何的发展产生了重要影响。物理学家 Philip Candelas、Xenia de la Ossa、Paul Green和Linda Parks发现镜像对称可用于计算卡拉比-丘三维流形（Calabi-Yau threefold）上有理曲线的数量。尽管镜像对称最初的方法源自于物理，数学上并不严格，但许多预测已经在数学上被严格证明。

在物理上，镜像对称是指卡拉比-丘三维流形之间的一种对偶关系，即两种卡拉比-丘流形虽然在几何上差别很大，但是作为弦论（String theory）的额外维度时却是等价的。这样的一对流形被称为镜像流形。

30多年后的今天，研究卡拉比-丘流形和镜像对称仍然在数学和物理上是一个活跃的学科，而枚举几何就是其中一个重要主题。

历史上著名的问题

在数学的各个领域中，总是存在一些具有引导意义的问题。这些问题是数学发展的灯塔，指引着数学家们不断前行。以下是历史上一些已解决的重要枚举几何问题：

问题一：两点决定一直线

由欧几里得（Euclid, 约公元前300年）提出：有多少直线通过平面上给定的两个点？

答案是1，因为两点决定一直线，这也是欧几里得几何（Euclidean geometry）中五大公理的第一条。

问题二：与三个圆相切的圆

由阿波罗尼乌斯（Apollonius, 约公元前200年）提出：在平面上给定三个圆，有多少圆同时与它们相切？

阿波罗尼乌斯自己给出了答案：8个（如下图）。这个数字来自与每个圆外切或内切的组合选择，具体为2×2×2=8。

问题三：与五个圆锥曲线相切的圆锥曲线

由雅各布·施泰纳（Jacob Steiner, 19世纪）提出：在二维复数平面上，给定五个圆锥曲线，有多少圆锥曲线同时与它们相切？

施泰纳自己给出的答案是7776，后来发现是不正确的。米歇尔·查尔斯（Michel Chasles）后来给出了正确答案3264。

在现代观点来看，这两个答案都是正确的！首先，两个答案的差异7776-3264=4512来自二重线（double line），它是圆锥曲线的一种退化。其次，这两个数字各自具有特定的数学意义：7776可以被理解为一个Donaldson-Thomas不变量，而3264可以被理解为一个Gromov-Witten不变量。