欧拉公式的直观推导
欧拉公式的直观推导
欧拉公式的推导
自然数的推导
自然数的推导始于最基本的数学概念：
- 0：表示无、不存在、没有
- 1：作为基本单位
- 通过0+1+1+1的方式得到整数，构成最自然的整数序列
数轴
数轴是数学中表示数的基本工具，它直观地展示了数的顺序和大小关系，是进行四则运算的基础。
虚数i的推导
虚数i的引入是为了解决实数域中无法解决的问题，例如方程$x^2 + 1 = 0$。通过定义$i^2 = -1$，我们得以拓展实数轴，进入复数域。
复数相乘深层推导
复数相乘不仅涉及数值的计算，还包含了几何意义的解释：
- 长度的平方为两个复数各自长度的平方和相乘
- 幅角的和为两个复数的角度相加
模长相乘推导
设两个复数$a + bi$和$c + di$，它们相乘的结果为：
$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
其模长的乘积可以表示为：
$$|a + bi||c + di| = |(ac - bd) + (ad + bc)i|$$
通过拉格朗日恒等式和柯西不等式，可以证明：
$$(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$$
幅角相加推导
将复数写为基底形式：
$$z_1 = r_1(\cos\alpha + \sin\alpha i)$$
$$z_2 = r_2(\cos\beta + \sin\beta i)$$
则它们的乘积为：
$$z_1z_2 = r_1r_2(\cos\alpha + \sin\alpha i)(\cos\beta + \sin\beta i)$$
通过和角公式，可以得到：
$$z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha + \beta)i)$$
$i^2 = -1$的思考
$i^2 = -1$并不是一个随意的定义，而是隐藏于向量所栖身的坐标系的规则之中，是对坐标系中的旋转变换的一种抽象描述。当一个向量乘以$i$时，它会逆时针旋转90度，这体现了$i$与坐标系中旋转操作的内在联系。
指数常数e的推导
指数常数e的定义为：
$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$
场景引入
考虑一个年利率为100%的存款场景，如果一年内重复存取n次，每次本金变为$1 + \frac{1}{n}$，最终本金会趋近于一个常数2.718…，即e。这个场景体现了$e^x$函数的增长速度正比于函数值本身，即$(e^x)' = e^x$。
$e^{ix}$的理解
设$f(x) = e^{ix}$，则其导数为：
$$f'(x) = (e^{ix})' = (e^{ix})(i) = ie^{ix} = if(x)$$
这意味着$f(x) = e^{ix}$的运动规律是，其速度（导数）永远垂直于和原点的连线。这种运动类似于圆周运动，其中$x$代表了前进长度为$x$的圆弧。
从这个理解出发，可以得到：
$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$
$\pi$的引入
将$x = \pi$代入上式，得到：
$$e^{i\pi} = -1$$
进一步得到著名的欧拉公式：
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
公式推导（导数思路）
考虑$e^{(abx)} = a\sin x + b\cos x$，对其求导：
- 第一次求导：$abe^{abx} = a\cos x - b\sin x$
- 第二次求导：$(ab)^2e^{abx} = -a\sin x - b\cos x$
由于$e^{(abx)} = a\sin x + b\cos x$，可以推出$(ab)^2 = -1$。设$i = ab$，则$a = i/b, b = i/a$。选择$a = i, b = 1$，就得到了欧拉公式：
$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$