小白学机器学习：Z检验详解

小白学机器学习：Z检验详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/xuemanqianshan/article/details/137472761

Z检验是统计学中常用的一种假设检验方法，主要用于比较样本均值与总体均值之间的差异。本文将详细介绍Z检验的基本概念、原理、适用范围以及具体操作步骤，帮助读者更好地理解这一统计学工具。

1 什么是Z检验

Z检验，也称“U检验”，是一种统计测试方法，用于检验在零假设情况下测试数据能否接近正态分布。根据中心极限定理，在大样本条件下许多测验可以被贴合为正态分布。Z检验的适用条件是样本数据符合正态分布，且样本量较大（通常大于30）。

1.1 Z检验的别名

Z检验又称为U检验或正态检验，其目的是比较样本的平均值差异，也可以称为均值齐性检验。这种检验方法基于样本数据符合正态分布的前提假设。

1.2 Z检验的定义

Z检验是一种利用服从标准正态分布统计量的检验方法。当样本数据符合正态分布时，可以通过计算Z检验量来判断样本均值与总体均值之间的差异是否显著。Z检验的核心优势在于其临界值在不同显著性水平下保持不变，因此比临界值标准不同的学生t检验更简单易用。当实际标准差未知且样本容量较小时（小于等于30），学生t检验更为适用。

1.3 Z检验量的计算公式

Z检验量的计算公式为：Z = (X - θ) / s = (X - u) / s，其中u/θ表示均值，s表示样本的标准差。这个公式表明，Z检验量相当于构造了一个标准正态分布变量，用于评估样本均值与总体均值之间的差异。

2 Z检验量的构造

Z检验量的构造过程涉及将样本均值与总体均值之差除以样本标准差，从而得到一个服从标准正态分布的统计量。具体来说：

• 如果样本数据Xi符合正态分布Xi ~ N(u, δ)，那么样本均值average(X)也符合正态分布，即average(X) ~ N(u, δ/√n)。
• Z检验量的构造公式为Z = (average(X) - u) / (δ/√n)或Z = (X1_ - X2_) / √(s1/n1 + s2/n2)。

2.4 Z检验量的核心参数

Z检验的核心参数包括：

• 平均值：总体均值u和样本均值δ
• 样本标准差：s（单样本）或s1和s2（双样本）
• 样本数量：n（单样本）或n1和n2（双样本）

3 Z分布

Z分布，全称费歇耳（Fisher）Z分布，是一种离散概率分布，其图形类似于正态分布但实际上是离散的。Z分布主要用于计算样本数据与总体均值之间的差异，其计算方法只适用于均值为整数且标准差为小数的情形。

3.2 Z分布与正态分布的比较

Z分布与正态分布的主要区别在于：

• Z分布是离散概率分布，而正态分布是连续概率分布。
• Z分布主要用于计算样本数据与总体均值之间的差异，而正态分布广泛应用于自然现象和实验数据的概率分布。

4 Z检验的适用范围

Z检验的适用性取决于样本数据的数量和总体分布的正态性。在样本数量较少或总体分布非正态时，Z检验的准确性会受到影响。具体来说：

• 当样本量大于30时，适合使用Z检验和T检验。
• 当样本量小于等于30时，只适合使用T检验。

4.3 具体适用范围

4.3.1 单样本Z检验

单样本Z检验用于比较一组样本和某数值（比如理想中的总体平均值）的平均值差异。原假设H0为样本均值等于指定数值。

4.3.2 两样本Z检验

两样本Z检验用于比较两组样本数据的平均值差异。原假设H0为两组样本均值相等。

5 Z检验的原理

Z检验的基本原理包括以下几个步骤：

1. 建立原假设H0和备择假设H1，设定显著性水平α（通常为0.05）。
2. 计算Z检验量，即样本均值与总体均值之差除以标准误差。
3. 根据显著性水平α和检验类型（单侧或双侧）查Z分布表，获得临界值。
4. 比较计算得到的Z值与查表得到的临界值，判断是否拒绝原假设。

5.1.2 显著度α的解释

显著度α表示在原假设为真时，观察到当前样本结果或更极端结果的概率。通常将α设为0.05，意味着有5%的概率错误地拒绝原假设。

5.1.3 单侧检验与双侧检验

• 单侧检验关注的是样本均值大于或小于总体均值的情况。
• 双侧检验关注的是样本均值与总体均值的任何差异。

5.1.4 判断规则

如果计算得到的Z值大于查表得到的临界值Z(α/2)（双侧检验）或Z(α)（单侧检验），则拒绝原假设；否则，接受原假设。

6 Z检验的实际操作

6.1 查表原理

Z分布表是一个离散图形，类似于正态分布。当Z值很大时，对应的p值很小，意味着发生的概率很低，从而可能拒绝原假设。

6.2 手动查表步骤

1. 确定显著性水平α。
2. 根据Z值的整数部分和小数部分在Z分布表中查找对应的p值。
3. 比较查得的p值与显著性水平α，判断是否拒绝原假设。

7 实例分析

7.1 检验方式选择

考虑一个双样本Z检验的例子，其中样本1包含50个数据点，样本2也包含50个数据点。

7.2 已知条件

假设已知两个样本的均值和方差，具体数值见表。

7.3 计算Z值

使用Excel公式计算Z值。

7.4 查表获得P值

7.4.1 第1个Z值

• Z = 0.658
• 查表得p = 0.7454
• 因为p > 0.05（显著性水平），接受原假设H0

7.4.2 第2个Z值

• Z = 2.16
• 查表得p = 0.9846
• 因为p < 0.05（显著性水平），拒绝原假设H0

通过这个实例，我们可以看到如何根据计算得到的Z值和查表得到的p值来判断样本均值之间的差异是否显著。

参考文献

• SPSSPRO官方文章
• 统计学假设检验——均值Z检验详解，入门必看！ - 知乎
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/635888184