音频进阶学习四——线性时不变系统之卷积和
音频进阶学习四——线性时不变系统之卷积和
线性时不变系统（LTI系统）是信号处理和系统理论中的核心概念，广泛应用于电路系统、振动系统、声学系统等领域。本文将详细介绍LTI系统的定义、性质以及卷积和的推导过程，并通过具体例子验证这些理论。
前言
在之前的文章中，介绍了模拟信号和数字信号的定义和联系，以及模拟信号通过采样、量化和编码最终成为数字信号的过程。也介绍了在实际的应用中，我们不能盲目的从信源获取到的信号都转化为模拟信号，也不能认为所有的模拟信号都可以通过A/D模数转换为数字信号，这是因为在实际处理中，有很多我们不需要的信号或者要对输入的信号做各种各样的处理，而处理的工具是离散时间信号系统，而在这些系统中最重要的一个系统就是线性时不变系统了。
线性时不变系统（LTI系统）的数学性质和实际应用中具有显著优势。原因之一它的特性使得时域上的数学分析特别简单，同时可以使用傅里叶变化在频域上进行分析。所以本篇文章会离散时间信号系统中的线性时不变系统做介绍，同时会占用大篇幅的内容来学习理解一样重要的分析LTI系统的工具——卷积和。
一、线性时不变系统
1.定义
线性时不变系统（LTI, Linear Time-Invariant System），具有上文中的系统的两大特性：线性系统、时不变系统。即LTI系统满足齐次性、叠加性、以及输入输出关系不变性。
为什么要把线性时不变系统单独拿出来，因为数字滤波器通常是一个线性时不变系统，至少在理论设计上如此。LTI系统具有的两个核心特性：线性性和时不变性（具体可以看上一篇文章音频进阶学习三——离散时间信号与系统的介绍），而大多数数字滤波器都满足这些特性。
2.LTI系统的卷积和
卷积和的含义
将系统单位脉冲响应、任意的输入信号与输出信号关联起来的表达式，叫做卷积和。
卷积和的推导
在上一篇文章中，使用了$\delta(n)$表示基本信号序列中的单位脉冲，这也是信号的基石，那么我们使用$h(n) = \tau[\delta(n)]$来表示单位脉冲的响应，其中$\tau$是表示线性时不变，也代表一个系统对于输入信号的偏移、反转、叠加、放大或者衰减等等动作。
我们之前有说过，任意离散时间信号，可以表示为单位脉冲的加权和，叫做冲激分解：
$$
x(n) = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}x(k)*\delta(n-k)
$$
与之对应系统的输出为
$$
y(n)=\tau [x(n)] = \tau \Big[ \sum_{k = -\infty}^\infty x(k)\delta(n-k)\Big]
$$
根据线性时不变系统的可加性：
$$
y(n) = \tau \Big[ \sum_{k = -\infty}^\infty x(k)\delta(n-k)\Big] =\sum_{k = -\infty}^\infty x(k）\tau[\delta(n-k)]
$$
此时来对比一下$\tau[\delta(n-k)]$和$h(n) = \tau[\delta(n)]$，根据上一篇里说到的离散序列的移位，所以$\tau[\delta(n-k)] = h(n-k)$。
即上面推导出系统单位脉冲响应、任意的输入信号与输出信号关联起来的表达式，也就是卷积式为
$$
y(n) =\sum_{k = -\infty}^\infty x(k)h(n-k)
$$
卷积公式的表示方法
为了方便书写，会使用$*$来表示卷积运算，所以上述卷积公式又写作为
$$
y(n) =\sum_{k = -\infty}^\infty x(k)h(n-k) => y(n) = x(n) * h(n)
$$
3.对于卷积公式的再理解
LTI系统的验证
例1：$y(n) = nx(n)$是否为LTI系统？
解：如果该系统为LTI系统，应该满足
叠加性：假设$y_1(n) = n * x_1(n) \quad y_2(n) = n* x_2(n)$，那么$y_3(n) = y_1(n) + y_2(n) = n * x_1(n)+ n* x_2(n) = n* (x_1(n) + x_2(n))$，叠加性成立。
齐次性：$y_1(n) = n * x_1(n) => c* y_1(n) = c * n * x_1(n)$，齐次性成立
时不变性：当进行移位操作时，系统输出输出关系不变：
$$
y(n) = \tau[x(n)] =>y(n-k) = \tau[x(n-k)]
$$
假设$n-k = n_0$那么上述系统明显为$y(n_0) = n_0x(n_0) => y(n-k) = (n -k) x(n-k)$，即$\tau$是发生了变化，所以该系统不为时不变系统，显然也不为LTI系统。
例2：$y(n) = x(n) + 0.5 * x(n-1)$是否为LTI系统？
时不变性：当n平移时，$y_{shifted}(n)=x(n−k)+0.5⋅x(n−k−1)$，系统对平移不敏感，为时不变系统。
线性：假设$y_1(n) = x_1(n) + 0.5x_1(n-1)$，$y_2(n) = x_2(n) + 0.5x_2(n-1)$
那么现在有$y_3(n) = a* y_1(n) + b*y_2(n) =>$
$$
y_3(n) =\big(ax_1(n) + b x_2(n)\big) +0.5\big(a*x_1(n-1) + b * x_2(n-1)\big) =>
$$
$$
y_3(n)=a (x_1(n)+0.5x_1(n−1))+b(x _2(n)+0.5x _2(n−1))
$$
当$b = 0$时满足齐次性，当$a = b = 1$时满足叠加性
卷积和的验证
上面我们已经对于$y(n) = x(n) + 0.5 * x(n-1)$是否为LTI进行了验证，得到了该公式符合LTI系统，那么我们通过该公式来验证卷积公式，假设：
$$
x(n) =
\begin{cases}
1, \quad n=0 \
2, \quad n = 1 \
3, \quad n=2 \
4, \quad n = 3 \
0, \quad n >3, n<0
\end{cases}
$$
我们计算$h(n)$的取值，利用单位冲激信号，我们得到当输入信号为$\delta n$时，单位冲激响应$h(n) = y(n)$
$$
y(n) = \delta(n) + 0.5\delta(n-1) =>
$$
$$
h(n) =
\begin{cases}
1, \quad n = 0\
0.5 ,\quad n=1\
0, \quad n\neq 0,1
\end{cases}
$$
所以卷积公式的验证，例如当$n = 3$时
$$
y(3) = \sum_{k = -\infty}^\infty x(3)h(3-k)
$$
- $k = 0, x(0) = 1, h(3-0) = h(3) = 0$
- $k = 1, x(1) = 2, h(3-1) = h(2) = 0$
- $k = 3, x(2) = 3, h(3-2) = h(1) = 0.5$
- $k = 4, x(4) = 4, h(3-3) = h(0) = 1$
即$y(3) = 10+20+30.5+41=5.5$而系统$y(n) = x(n) + 0.5 * x(n-1)$在$n = 3$时输出也为5.5，卷积公式成立。
对于卷积和的思考
上文说过，将系统单位脉冲响应、任意的输入信号与输出信号关联起来的表达式，叫做卷积和，由此定义了单位冲激响应$h(n)$的概念。
- 那么在$y(n) = x(n) + 0.5 * x(n-1)$中，为什么单位冲激响应会发生变化？我们首先来看这个系统
- 首先它是LTI系统，这个上文已经求证
- 它又是一个记忆系统，即依赖过去的输入或者过去的输出，$0.5 * x(n-1)$说明上一刻时间的输入，会经过衰减再次输入到系统中。
例如说，当一个人在山谷大声说话时，之前的说话声会经过衰减再次输入到环境这个系统中来。
- 为什么需要卷积和公式？
在之前音频基础文章中，我们应该知道，所有的信号都可以分解为基础正弦信号，例如下图：
输入信号是信号1和信号2相加信号，即输入信号是多个脉冲信号的组成，也就可以利用多个脉冲信号的冲激分解进行求系统输出。
例如：
$$
x(n) = \delta(n -1) + \delta(n-3) + \delta(n-5)
$$
理解为输入信号是由三个冲激响应组成，分别出在$n = 1, 3, 5$时，那么系统的输出应该为
$$
y(n) = h(n-1) + h(n-2) + h(n-3)
$$
二、稳定的LTI系统
1.稳定系统
上一篇我们说过，一个稳定的系统是指输入输出都有边界，即$x(n) < M_x < \infty, \quad y(n) < M_y < \infty$。
对于LTI系统，系统的稳定性的充分条件是
$$
\sum_{n=-\infty}^\infty |h(n)| < \infty
$$
即系统的单位脉冲响应可和
2.收敛和发散
- 收敛：表示系统或信号趋于某个稳定的状态或值，是分析稳定性的重要工具。
- 发散：可能表现为发散、震荡或无极限，常用于描述系统不稳定或复杂动态行为
当系统稳定时，$h(n)$的模值随$n$增大而减少，此时该序列称之为收敛序列，反之，当系统不稳定时$h(n)$的模值随$n$增大而增大（或不变），此时该序列称之为发散序列。
3.收敛序列的意义
物理意义：
- 响应逐渐减弱： 单位脉冲响应代表系统对单位脉冲输入的输出。一个稳定的系统不能对输入信号的影响无限延续或逐渐增强，而是会随着时间逐渐“耗散”掉输入的能量。
- 趋于静止状态： 单位脉冲输入是一个瞬时的信号，系统对其响应应该是暂态的。在稳定系统中，响应会逐渐衰减到零。
数学意义：
- 如果序列$h(n)$不逐渐变小（趋于 0），例如持续保持较大值或震荡，则可能会导致系统的输出发散。这违反了系统的稳定性条件。
- 一个收敛的序列，其值在$n→∞$时不能保持不变（除非是零），否则会偏离收敛的定义。
以实际例子来理解：
$$
y(n) =\sum_{k = -\infty}^\infty x(k)h(n-k)
$$
如果$h(n) = 1$那么卷积公式就变为
$$
y(n) =\sum_{k = -\infty}^\infty x(k)
$$
意味着$y(n)$将是所有输入信号$x(n)$的累加和，因为在任意时刻$n$，系统的输入权系数都对系统的输入具有贡献.
总结
LTI系统是许多工程设计方法的基础，例如电路系统，振动系统，声学系统等等。本篇文章先对LTI系统的特性做了详细的介绍，也举例验证一个系统是否为LTI系统。
然后在通过冲激分解，和单位冲激响应，推导出了一个重要的数学公式——卷积和，那么在下一篇文章中，将会通过实际的图形和公式来看一看卷积和公式到底如何求解，也就是通过一个给定的信号，就可以得到一个确切的系统响应。