行列式学习笔记

行列式学习笔记

行列式是线性代数中的一个核心概念，它在矩阵理论、线性方程组求解以及向量空间的性质研究中都扮演着重要角色。本文将从行列式的定义出发，系统地介绍其七大性质及其推论，并给出详细的证明过程。通过本文的学习，读者将能够深入理解行列式的本质及其在数学中的应用。

定义

行列式可以通过以下方式定义：

[D= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots\ \dots & \dots & \dots \end{vmatrix} =\sum_{p\ is\ permutation}(-1)^{\tau(p)}\prod_ia_{i,p_i} ]

其中(\tau(p))为(p)的逆序对个数。

转置

行列式转置是指将行列式中的行和列进行互换，即(\operatorname{ swap}(a_{i,j}),(a_{j,i}))。

性质 1

((D^T)^T\Rightarrow D)

性质 2

(D^T=D)

证明

所有排列转置后（对应位置不变）依旧是排列。

由性质 2 可知，行与列的地位是等价的，即行拥有的性质列也应拥有。

行列性质

性质 1

交换行列式不同的两行，值变号。

证明

交换两个数（同时交换对应排序），排列逆序对个数奇偶性发生变化，在值的体现上就是变号。

性质 2

若行列式存在两行相同，则值为(0)。

证明

考虑交换(D)相同的两行得到(D_1)，由性质 1 得(D=-D_1)，并且(D=D_1)，所以(D=D_1=0)。

性质 3

某一行乘上(k), 等于(D)乘上(k)。

证明

定义式中每一项都能提一个(k)出来。

推论

若存在一行全为 0 ，则值为(0)，证明同性质 3。

性质 4

若不同两行对应成比例，则值为(0)

证明

先考虑使用性质 3，再考虑性质 2 即可证明。

性质 5

加法可拆性，和的那一行分开，其余行保持不变

即

[D= \begin{vmatrix} \dots & \dots & \dots\ a_{i,1}+b_{i,1} & a_{i,2}+b_{i,2} & \dots\ \dots & \dots & \dots\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dots & \dots & \dots\ a_{i,1} & a_{i,2} & \dots\ \dots & \dots & \dots\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \dots & \dots & \dots\ b_{i,1} & b_{i,2} & \dots\ \dots & \dots & \dots\ \end{vmatrix} ]

证明

定义式中每一项都能进行一次分配，即可将和式拆为两个。

性质 6

某一行乘以一个数，加到某一行，行列式的值不变

证明

考虑先使用性质 5 拆为两个行列式，而增加的那个行列式由性质 4 可知值为(0)。

性质 7

若行列式只有下三角有值，则值为对角线元素乘积

证明

考虑定义式

暴力求解行列式复杂度是(O(n·n!))，有以上性质就能使用高斯消元(O(n^3))求解（upd:在某些情况下需要辗转相除法去进行消元，此时复杂度多一个(\log)）。