傅里叶变换和系统的频谱分析

傅里叶变换和系统的频谱分析

本文主要介绍了傅里叶变换和系统的频谱分析，内容包括信号分解为正交函数、傅里叶级数、非周期信号的频谱、傅里叶变换的性质、LTI系统的频域分析以及取样定理等。文章内容较为全面，涵盖了傅里叶变换的基本理论和应用，适合对信号处理和系统分析感兴趣的读者。

信号分解为正交函数

正交信号空间

设n个函数构成一函数集，如在区间内满足下列特性：

• 常数
  则称此函数集为正交函数集，这n个构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数f(t)，在区间内可以用组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。

完备正交函数集

若令趋于无限大，的极限等于零，则此正交函数集称为完备正交函数集。如果在正交函数集外，不存在函数，其中满足等式i为任意整数，则此函数集称为完备正交函数集。

复变函数的正交特性

如果在区间内，复变函数集满足，则称为正交函数集。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称傅立叶级数。

傅里叶级数

Dirichlet条件

1829年，Dirichlet给出了补充，只有当周期信号f(t)满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。Dirichlet条件包括：

1. 在一个周期内绝对可积；
2. 在一个周期内只有有限个有限值的不连续点；
3. 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。

三角型傅里叶级数

周期信号f(t)在区间(t0,t0+T)可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称傅立叶级数。

吉布斯（Gibbs）现象

用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点附近出现起伏，起伏频率随谐波分量增加而增加，起伏峰值不随谐波分量增加而减少，起伏峰值有9%的超量。

傅里叶级数的指数形式

复指数函数集是完备正交函数集。傅里叶系数可以通过以下公式计算：

周期信号的频谱

周期信号的功率

从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系。物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。

频谱的概念

或通过研究傅里叶系数An、Fn和来研究信号的特性，它们是频率的函数，反映了组成信号各频率分量的幅度、相位的分布情况，称为频谱函数。

周期矩形脉冲的频谱

周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有的分量，其相邻两谱线的间隔是，脉冲周期T越长，谱线间隔越小。周期矩形脉冲信号的频谱()。

周期矩形脉冲信号的频带宽度

周期矩形信号的谱线幅度按的规律变化。在处，即处，包络为零，其相应的谱线亦等于零。周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其信号能量主要集中在第一个零点以内。在允许一定失真条件下，只需传送频率较低的那些分量就足够表达原信号。

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱密度函数

此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引入一个新的量——“频谱密度函数”。设周期信号，则频谱密度函数可以通过以下公式计算：

傅里叶变换

傅里叶变换和傅里叶反变换可以通过以下公式计算：

傅里叶变换的性质

线性

说明：和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。

奇偶性

时域实偶<->频域实偶
时域实奇<->频域虚奇

对称性

根据傅里叶变换的对称性质，可以得到以下结论：

尺度变换

尺度变换可以通过以下公式计算：

时移特性

时移特性可以通过以下公式计算：

频移特性

频移特性可以通过以下公式计算：

卷积定理

卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中占有重要地位，应用最广。

微分特性

微分特性可以通过以下公式计算：

积分特性

积分特性可以通过以下公式计算：

周期信号的傅里叶变换

周期信号的频谱

周期信号的频谱为离散谱（傅里叶系数），非周期信号的频谱为连续谱（傅里叶变换）。周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。

常见周期信号的傅里叶变换

虚指数信号的频谱密度可以通过以下公式计算：

余弦信号及其频谱密度可以通过以下公式计算：

正弦信号及其频谱密度可以通过以下公式计算：

一般周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换是频谱密度，其在的幅度是：

LTI系统的频域分析

基本概念

LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应。本节只研究零状态响应。时域分析法即将分解为无限个之叠加。即零状态响应分解为所有被激励加权的之叠加。

频率响应

LTI系统把频谱为F(jw)的输入改变成频谱为H(jw)F(jw)的响应，改变的规律完全由H(jw)决定。Yzs(jw)=H(jw)F(jw)。H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性，称为该系统的频率响应。

频域电路模型

时域电路模型（RC低通网络）的频域阻抗可以通过以下公式计算：

利用傅里叶分析方法求解线性系统的零状态响应

利用傅里叶分析方法求解线性系统的零状态响应可以通过以下步骤：

无失真传输

无失真：系统的响应与激励相比，波形无任何变化，即：仅在幅度因子或出现时间上有变化，称信号在传输过程中无失真。

群时延概念

群时延概念可以通过以下公式计算：

特定波形的形成

实际应用中，有意识地利用系统引起失真来形成某种特定波形。这时，系统传输函数则应根据所需要求进行设计。

理想滤波器的频率响应

理想滤波器的频率响应可以通过以下公式计算：

理想低通滤波器

理想低通滤波器的频域特性为截止频率(Cutofffrequency)。理想低通滤波器的冲激响应可以通过以下公式计算：

取样定理

基本概念

取样利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值fs(t)=f(t)•s(t)的过程。经抽取后的一系列的离散信号fs(t)。取样也称为“采样”或“抽样”。

取样信号的傅里叶变换

设连续信号取样脉冲信号取样后信号采用均匀取样，取样周期为Ts，取样频率为：取样过程：取样脉冲序列s(t)与连续信号f(t)相乘。即：

冲激取样(理想取样）

若取样脉冲s(t)是冲激序列频谱频谱……得到冲激取样信号的频谱：

矩形脉冲取样(自然取样）

取样脉冲s(t)是矩形。取样信号的傅里叶变换可以通过以下公式计算：

取样定理

信号在时域