二次曲面的分类与标准方程

二次曲面的分类与标准方程

二次曲面是三维空间中由二次方程定义的曲面，是解析几何中的重要概念。本文将详细介绍二次曲面的定义、分类及其标准方程，并通过图形直观展示各种类型的二次曲面。

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程 $F\left(x,y,z\right)=0$ 所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为 二次曲面 ．

二次曲面是三维空间中由二次方程定义的曲面。其一般形式为：

$$A{x}^{2}+B{y}^{2}+C{z}^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0$$

二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程．

椭球面

$$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$$

单叶双曲面

$$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$$

双叶双曲面

$$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$$

椭圆和双曲抛物面

椭圆抛物面：$$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=z$$

双曲抛物面：$$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=z$$

常见二次曲面及其图形

以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.

常见二次曲面及其图形如下：

(1) 椭圆锥面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}={z}^{2}$$ ，如图 (a)。

(2) 椭球面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$$, 如图 (b).

(3) 单叶双曲面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$$, 如图 (c).

(4) 双叶双曲面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$$, 如图 (d).

(5) 椭圆抛物面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=z$$, 如图 (e).

(6) 双曲抛物面 (马鞍面) $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=z$$, 如图 $$\left(f\right)$$.

(7) 椭圆柱面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$$, 如图 (g).

(8) 双曲柱面 $$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$$, 如图(h).

(9) 抛物柱面 $${y}^{2}=ax$$, 如图 (i).

二次曲面的二次型及其惯性指数总结如下：

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}\text{二次曲面}& \text{标准方程}& \text{二次型}f& \begin{array}{c}\text{正惯性}\\ \text{指数}\end{array}& \begin{array}{c}\text{负惯性}\\ \text{指数}\end{array}\\ \text{粗圆锥面}& \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}={z}^{2}& f=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-{z}^{2}& 2& 1\\ \text{椭球面}& \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1& f=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}& 3& 0\\ \text{单叶双曲面}& \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1& f=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}& 2& 1\\ \text{双叶双曲面}& \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1& f=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}& 1& 2\\ \text{椭圆柱面}& \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1& f=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}& 2& 0\\ \text{双曲柱面}& \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1& f=\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}& 1& 1\end{array}}$$