函数的极值及其求法

函数的极值及其求法

函数的极值及其求法是微积分中的一个重要内容，它在理论研究和实际应用中都具有重要的意义。本文将详细介绍函数极值的定义、必要条件、第一充分条件和第二充分条件，并通过例题进行解释说明。

一、函数极值的定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，如果存在$\delta>0$，使得对所有$x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$，都有$f(x)\leq f(x_0)$（或$f(x)\geq f(x_0)$），则称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

二、函数极值的求法

1. 必要条件

定理1（必要条件）：如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$x_0$是$f(x)$的极值点，则$f'(x_0)=0$。

注意：不可导点也可能是极值点。如果一个可导函数在所论区间上没有驻点，则此函数没有极值，此时导数不改变符号。

2. 第一充分条件

定理2（第一充分条件）：设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域内可导，且$f'(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处不可导）。

• 如果在$x_0$的左侧邻域内$f'(x)>0$，右侧邻域内$f'(x)<0$，则$f(x_0)$是极大值。
• 如果在$x_0$的左侧邻域内$f'(x)<0$，右侧邻域内$f'(x)>0$，则$f(x_0)$是极小值。
• 如果在$x_0$的两侧邻域内$f'(x)$同号，则$f(x_0)$不是极值。

3. 第二充分条件

定理3（第二充分条件）：设函数$f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且$f'(x_0)=0$。

• 如果$f''(x_0)<0$，则$f(x_0)$是极大值。
• 如果$f''(x_0)>0$，则$f(x_0)$是极小值。
• 如果$f''(x_0)=0$，则不能确定$f(x_0)$是否为极值。

例题解析

例1

求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的极值。

解：

1. 求导数：$f'(x)=3x^2-6x$
2. 求驻点：令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$
3. 判断极值：

• 当$x<0$时，$f'(x)>0$
• 当$0<x<2$时，$f'(x)<0$
• 当$x>2$时，$f'(x)>0$

因此，$x=0$是极大值点，极大值为$f(0)=4$；$x=2$是极小值点，极小值为$f(2)=0$。

例2

求函数$f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1$的极值。

解：

1. 求导数：$f'(x)=4x^3-12x^2+8x$
2. 求驻点：令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=1$或$x=2$
3. 判断极值：

• 当$x<0$时，$f'(x)<0$
• 当$0<x<1$时，$f'(x)>0$
• 当$1<x<2$时，$f'(x)<0$
• 当$x>2$时，$f'(x)>0$

因此，$x=0$是极小值点，极小值为$f(0)=1$；$x=1$是极大值点，极大值为$f(1)=2$；$x=2$是极小值点，极小值为$f(2)=1$。