通信原理学习笔记：数字通信系统性能指标详解
通信原理学习笔记：数字通信系统性能指标详解
数字通信系统是现代通信的核心，其性能指标直接关系到通信的质量和效率。本文详细介绍了数字通信系统的关键性能指标，包括带宽、信噪比Eb/N0、可靠性与误码率、有效性与频谱利用率等核心概念。通过理论推导和具体实例，深入浅出地解释了这些复杂的技术概念。
数字系统占用的带宽
为了便于理解分析数字系统带宽，给出如下模型（实际中模型并非如此）：
- 虽然理论上数字基带信号使用矩形脉冲分析，但实际中都是类似sinc的脉冲（由上图「脉冲成形」的升余弦滤波器提供），从而节省带宽、且在接收端抽样判决时可以减少码间串扰
- 使用sinc的脉冲，也会导致实际看到的PSK/QAM等已调波形与理想的波形不同，因为理想波形都是以矩形脉冲为前提的（例如BPSK：y ( t ) = x ( t ) cos 2 π f t y(t)=x(t)\cos 2\pi fty(t)=x(t)cos2πft，其中x ( t ) x(t)x(t)就是矩形脉冲），但我们不需要关注时域已调波形与理论的差异，只要接收端能还原基带脉冲信号（相干解调），并正确抽样判决即可
我们在信道上传输的是脉冲成形后的码元（一个脉冲波形对应一个码元），因此带宽应该从码元级别来看（而非信息比特），也就是说：
- 基带脉冲成形后，基带信号带宽取决于基带成形脉冲信号的能量谱，并和R s R_sRs （或着说码元周期T s = 1 / R s T_s=1/R_sTs =1/Rs ）挂钩：
重要结论：
- 矩形脉冲：绝对带宽无限，第一零点带宽B = R s = 1 / T s B=R_s=1/T_sB=Rs =1/Ts
- 对于归零RZ矩形脉冲，第一零点带宽翻倍：B = 2 R s B=2R_sB=2Rs
- sinc脉冲：基带带宽B = R s / 2 B=R_s/2B=Rs /2，这是最理想情况，即满足Nyquist准则的无码间串扰的最小带宽
- 升余弦滚降滤波器形成的形似sinc的脉冲：基带带宽B = ( 1 + α ) R s / 2 B=(1+\alpha)R_s/2B=(1+α)Rs /2，实际采用的脉冲，同样满足Nyquist准则，但占用的带宽比理想情况稍大
- 频带信号带宽取决于基带脉冲信号 以及 上变频的方式（上图的“模拟调制”），因此同样和R s R_sRs 挂钩
例如，考虑最理想的sinc脉冲，则基带带宽B = R s / 2 B=R_s/2B=Rs /2；
如果是双边带调制的上变频，则频带带宽W = 2 B = R s W=2B=R_sW=2B=Rs
信噪比SNR和E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0
模拟通信系统中，信噪比一般用S / N S/NS/N衡量；数字通信系统中，信噪比一般用E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 衡量；
实际上，两种指标的本质是相同的，推导如下：
E b E_bEb 为平均每比特能量，N 0 / 2 N_0/2N0 /2为噪声双边功率谱密度，B BB为基带信道带宽，噪声总功率为N 0 2 × 2 B = N 0 B \frac{N_0}{2}\times2B=N_0B2N0 ×2B=N0 B（也可以用噪声单边功率谱密度N0乘以带宽B得到）
信噪比就是信号功率和噪声功率的比：S N = E b N 0 ⋅ R b B \frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B}NS =N0 Eb ⋅BRb
其中分子的含义是：信号能量*传输速率=信号功率
写为对数形式，就是S N R ( d B ) = 10 l o g 10 ( E b N 0 ) + 10 l o g 10 ( R b B ) = E b N 0 ( d B ) + R b B ( d B ) SNR(dB)=10log_{10}(\frac{E_b}{N_0})+10log_{10}(\frac{R_b}{B})=\frac{E_b}{N_0}(dB)+\frac{R_b}{B}(dB)SNR(dB)=10log10 (N0 Eb )+10log10 (BRb )=N0 Eb (dB)+BRb (dB)
前面说过，基带信道带宽B BB取决于基带脉冲信号、上变频的方式，因而与R s R_sRs 挂钩，例如采用理想sinc脉冲成形，双边带调制，则B = R s / 2 B=R_s/2B=Rs /2；
从而在数字调制方式和脉冲成形滤波器确定后，R b B \frac{R_b}{B}BRb 是一个常数，因此对数下的S / N S/NS/N和E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 没有只是相差一个常数，没有本质区别
有效性
数字通信系统的有效性用频谱资源利用率来衡量：
η = 信 息 量 传 输 时 间 × 信 道 带 宽 = R b W ( b p s / H z ) \eta=\frac{信息量}{传输时间\times 信道带宽}=\frac{R_b}{W}(bps/Hz)η=传输时间×信道带宽信息量 =WRb (bps/Hz)
分母的带宽，如果带入基带带宽，就是基带频谱资源利用率；带入频带带宽，就是频带频谱资源利用率；
若采用双边带调制，基带频谱资源利用率=频带频谱资源利用率x2；
有时分子也带入R s R_sRs 计算，则此时单位变为Baud/Hz
例如，采用理想sinc脉冲成形，双边带调制，则W = 2 B = R s W=2B=R_sW=2B=Rs ，进而有η = R b W = R b R s \eta=\frac{R_b}{W}=\frac{R_b}{R_s}η=WRb =Rs Rb 可见，由于R b = l o g 2 M R s R_b=log_2MR_sRb =log2 MRs ，调制阶数M MM越高，调制效率η \etaη越高；
当然调制阶数增高，也会导致星座图中点间距变小，可靠性降低
频谱资源利用率的上限
比特速率R b R_bRb 和信噪比E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 固定的情况下（基带滤波也固定），则调制编码方式决定了频谱资源利用率
虽然可以优化调制方式（增加调制阶数），增加频谱利用率，但是频谱资源利用率有上限（一个码元承载过多比特，终究会导致大量误码、无法可靠通信），这个上限由E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 决定
[推导] 频谱利用率（传输速率R b R_bRb 与带宽B BB的比值）和信噪比E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 的关系
信息传输速率最大，应将R b = C R_b=CRb =C代入信噪比S N = E b N 0 ⋅ R b B \frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B}NS =N0 Eb ⋅BRb
带入香农公式：C = B l o g 2 ( 1 + S / N ) = B l o g 2 ( 1 + E b N 0 ⋅ C B ) C=Blog_2(1+S/N)=Blog_2(1+\frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{C}{B})C=Blog2 (1+S/N)=Blog2 (1+N0 Eb ⋅BC ),
可以得到E b N 0 \frac{E_b}{N_0}N0 Eb 和C B \frac{C}{B}BC 满足关系：E b N 0 = 2 C / B − 1 C / B \frac{E_b}{N_0}=\frac{2^{C/B}-1}{C/B}N0 Eb =C/B2C/B−1 ，或E b N 0 ( d B ) = 10 l o g 10 ( 2 C / B − 1 C / B ) \frac{E_b}{N_0}(dB)=10log_{10}(\frac{2^{C/B}-1}{C/B})N0 Eb (dB)=10log10 (C/B2C/B−1 )
关系如图：
注意，这里讨论的是基带频谱资源利用率C / B C/BC/B，若采用双边带调制，频带频谱资源利用率为它的一半
- 信噪比E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 决定了基带频谱资源利用率的上限R b B = C B \frac{R_b}{B}=\frac{C}{B}BRb =BC
- 基带频谱资源利用率C / B C/BC/B随着E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 增大而增大
- 但由于信号发射功率不可能无限大，所以频谱资源利用率也不可能无限大
- 基带频谱资源利用率C / B C/BC/B随着E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 减小而减小，E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 趋于− 1.6 d B -1.6dB−1.6dB（香农极限）时，C / B C/BC/B趋于0 00
这表明，要实现无差错的数据传输，信噪比必须高于一定水平（E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 低于− 1.6 d B -1.6dB−1.6dB不可能实现无差错的数据传输）
狭义香农极限：（通过编码实现）无差错传输，所需的最小信噪比，约为-1.6dB
广义香农极限：要达到给定的误码率，所需的最小信噪比
香农第二定理指出，只要信息传输速率小于信道容量，一定存在一种信道编码，使得信息传输错误概率任意小
香农第二定理对应的 [最大信息传输速率（信道容量C）下，无错传输所需的最小信噪比]，正是对应这里的狭义香农极限
可靠性
数字通信系统的有效性用误比特率BER来衡量，误比特率通常随着信噪比E b / N 0 E_b/N_0Eb /N0 增大而降低
提高可靠性 / 改善误比特率，有两个思路：
①提高信噪比：信号发射功率不可能无限提高，所以信噪比总是有限的
②信道编码：增加的冗余信息来实现纠错，但显然占用了一部分传输资源，有效性降低
例如(2,1,3)卷积码，输入1 bit，编码器输出2 bit，信道编码后，若要保持有用信息传输速率R b R_bRb 不变，则信道编码后的波特率R s R_sRs 变为原来两倍，进而占用带宽W = R s W=R_sW=Rs 也变为原来两倍，因此频谱资源利用率η \etaη减半，有效性降低
另外，之前也说过，PSK调制阶数增加，虽然有效性更好（频谱利用率升高），但可靠性变差（星座点更靠近）
可见，通信系统的可靠性和有效性总是相互制约的，实际中应该根据不同需要做权衡