正弦定理的八种证明方法
正弦定理的八种证明方法
正弦定理是三角学中的一个基本定理，它描述了三角形的边长与对应角的正弦值之间的关系。本文将介绍正弦定理的八种不同证明方法，帮助读者从多个角度理解这一重要定理。
第一种 最简单的方法
过点(A)作(AH \perp BC)交(BC)于点(H)， 易得：
[AH=c\sin B=b\sin C \ \Downarrow \ \dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B} ]
同理可得：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} ]
[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A} ]
综上：
[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A} ]
补充：
我们也可以借此得到(S\triangle ABC=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}bc\sin A)
第二种 勾股定理法
过点(A)作(AH \perp BC)交(BC)于点(H)，可得(AH=b\sin C,BH=c\cos B)
由勾股定理可得：
[AB^2+AH^2+BH^2 ]
即
[c^2=b^2\sin^2C+c^2\cos^2B \ \Downarrow \ c^2(1-\cos^2B)=b^2\sin^2C \ \Downarrow \ \dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B} ]
同理可得：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} ]
[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A} ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ]
第三种 余弦定理证明正弦定理
前言：暴力出奇迹 打表出省一
[\cos A=\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos^2A=\dfrac{c^4+b^4+a^4+2c^2b^2-2a^2b^2-2a^2c^2}{4b^2c^2} ]
由(\cos^2A+\sin^2A=1)可得：
[\sin^2A=\dfrac{-c^4-b^4-a^4+2c^2b^2+2a^2b^2+2a^2c^2}{4b^2c^2} ]
同理可得(\sin^2B)和(\sin^2C)的值，笔者不在此赘述此证明过程。
所以：
[(\dfrac{a}{\sin A})^2=\dfrac{4a^2b^2c^2}{-b^2-c^2-a^2+2a^2b^2+2a^2c^2b^2c^2}=(\dfrac{b}{\sin B})^2=(\dfrac{c}{\sin C})^2 ]
所以：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ]
第四种 建立平面直角坐标系
不妨设(A(0,0),C(x,y),B(c,0))，过点(C)作(CH \perp AB)交(AB)于点(H)，易得：
[CH^2=y^2 \ AC^2=x^2+y^2 \ BC^2=(x-c)^2+y^2 ]
所以：
[a=BC,\sin A=\dfrac{CH}{AC},b=AC,\sin B=\dfrac{CH}{CB} ]
可得：
[(\dfrac{a}{\sin A})^2=\dfrac{(x-c)^2+y^2}{y^2}=(\dfrac{b}{\sin B})^2 ]
所以：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} ]
同理可得：
[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A} ]
[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B} ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ]
第五种 外接圆法一
过点(O)作线段(OH \perp BC)交(BC)于点(H)，易得：(BC=a,BD=\dfrac{a}{2})
所以
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{a}{\sin \angle BOD} =\dfrac{a}{\frac{a}{2r}}=2r ]
同理可得：
[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r ]
第六种 外接圆法二
由题：(\angle ACB=\angle AEB)，所以(\sin C=\sin\angle AEB=\dfrac{AB}{EB}=\dfrac{c}{2r})
所以
[\dfrac{c}{\sin C}=2r ]
同理可得：
[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{a}{\sin A}=2r ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2r ]
第七种 相似法
这种正法好无聊，相当复杂，纯属拓宽思路
过点(A)作(AH \perp BC)交(BC)于点(H).
作(\triangle ACD \sim \triangle AHB，\triangle AHC \sim \triangle ABE)，可得：(\angle HAC=\angle EAB,\angle HEB =\angle CAD).
所以：
[\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AB}{AH},\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AH}\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AC} ]
所以(AD=AE)
又因为：
[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{AC}{\sin \angle ADC}=AD,\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{AB}{\sin \angle AEB}=AE ]
所以：
[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C }]
同理可得：
[\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A} ]
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ]
第八种 向量法
这个比我发明的第七种证法还无聊，但这是教科书上的
过点(A)作与(\overrightarrow{AC})垂直的单位向量(\boldsymbol{j})，则(\boldsymbol{j})与(\overrightarrow{AB})的夹角为(\dfrac{\pi}{2}-A)，(\boldsymbol{j})与(\overrightarrow{CB})的夹角为(\dfrac{\pi}{2}-C.)
因为(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB})，所以：
[\boldsymbol{j}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{AB} ]
由分配律得：
[\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{AC}+\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{j}\cdot\overrightarrow{AB} ]
即
[|\boldsymbol{j}|\ |\overrightarrow{AC}|\cos\dfrac{\pi}{2}+|\boldsymbol{j}|\ |\overrightarrow{CB}|\cos(\dfrac{\pi}{2}-C)=|\boldsymbol{j}|\ |\overrightarrow{AB}| \cos(\dfrac{\pi}{2}-A) ]
也即
[a\sin C=c\sin A \Rightarrow \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C} ]
同理可得：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} ]
[\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C } ]
综上：
[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} ]