高考数学第一轮复习导学案：导数的概念及其运算

高考数学第一轮复习导学案：导数的概念及其运算

本文是关于高考数学第一轮复习导学案，主要讲解了导数的概念及其运算，包括导数的几何意义、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、复合函数的求导等内容。文章内容详细且系统，涵盖了导数的基本概念、公式和应用，适合高考数学复习使用。

导数的概念及其运算

1. 导数的几何意义

• 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)。
• 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)。

2. 基本初等函数的导数公式

3. 导数的运算法则

• 若f′(x)，g′(x)存在，则：
• [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
• [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
• eq\b\lc\\rc\′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)

4. 复合函数的求导

• 复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝f′(g(x))·g′(x)。

5. 物理意义

• 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的瞬时速度
• 设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的瞬时加速度

高考真题练习

1.【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则

• 答案：(−∞,−4)∪(0,+∞)
• 解析：略

2.【2022年新高考2卷】曲线y=ln3

• 答案：y=1e；y=−1ex
• 解析：略

3.【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为

• 答案：略
• 解析：略

4.【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为

• 答案：B
• 解析：略

5.【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为

• 答案：D
• 解析：略

6.【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则

• 答案：D
• 解析：略

基础练习

1. 下列求导结果正确的是（）

• 答案：D
• 解析：略

2. 若，则（）

• 答案：C
• 解析：略

3. 若函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝

• 答案：－1
• 解析：略

4. 函数y＝xsinx－cosx的导数为

• 答案：y′＝2sinx＋xcosx
• 解析：略

5. 曲线在点处的切线方程为

• 答案：略
• 解析：略

6. 曲线在点处的切线方程为

• 答案：略
• 解析：略

考向一：基本函数的导数

例1：求下列函数的导数.

• (1)y＝x2sinx
• (2)y＝lnx＋eq\f(1,x)
• (3)y＝eq\f(cosx,ex)
• (4)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))

变式1：已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数.

变式2：求下列函数的导数：

• (1)f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x
• (2)f(x)＝lneq\f(x－1,x＋1)

变式3：求下列函数的导数：

• (1)f(x)＝x3＋xsinx
• (2)f(x)＝xlnx＋2x
• (3)f(x)＝excosx
• (4)f(x)＝eq\f(1－sinx,cosx)

方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：

• 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导
• 三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
• 分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
• 复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

考向二：求导数的切线方程

例2：

• （1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为
• （2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是

变式1：

• (1)若函数f(x)＝2eq\r(x)的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程
• (2)求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程
• (3)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9都相切，求实数a的值

变式2：（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则

方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

• 函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标
• 切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点
• 曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条

考向三：导数几何意义的应用

例3：

• （1）已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为
• （2）：若直线是曲线的切线，则实数的值为

变式1：（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数

变式2：（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则

方法总结：

1. 利用导数的几何意义求参数的基本方法

• 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围

2. 求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

• 注意曲线上横坐标的取值范围
• 谨记切点既在切线上又在曲线上

综合练习

1. 已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是

• 答案：略
• 解析：略

2. 已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则

• 答案：略
• 解析：略

3. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是

• 答案：略
• 解析：略

4. 已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，则t的取值范围是

• 答案：略
• 解析：略

5. 已知f(x)=cosx，g(x)=x，则关于x的不等式的解集为

• 答案：略
• 解析：略

6. 已知直线与曲线相切，则

• 答案：略
• 解析：略