实对称矩阵必可正交对角化证明
实对称矩阵必可正交对角化证明
实对称矩阵必可正交对角化是线性代数中的一个重要定理。本文将通过数学归纳法证明这一结论，并探讨其与正规矩阵的关系。
定理证明
n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵，即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。
数学归纳法证明
设n*n阶矩阵A，当n = 1时，结论显然成立。假设当n - 1时结论成立，我们需要证明当n时，结论也成立。
设A的一个特征值为 (\lambda)，对应的特征向量为 (v_1)，将 (v_1) 扩展为n维空间的一组标准正交基 ({v_1, v_2, ..., v_n})，记为：
[Q = [v_1, v_2, ..., v_n]]
则：
[AQ = A[v_1, v_2, ..., v_n] = [\lambda v_1, Av_2, ..., Av_n]]
因为Q是n维空间的一组标准正交基，所以 (Q^{-1} = Q^T)，则：
[Q^{-1}AQ = Q^TAQ = \begin{bmatrix}
\lambda & * & \cdots & * \
0 & & & \
\vdots & & B & \
0 & & &
\end{bmatrix}]
其中B是一个(n-1)阶矩阵。由相似矩阵有相似特征值，可知n-1阶矩阵B有特征值 (\lambda_2, \lambda_3, ..., \lambda_n)。由假设可知，存在n-1阶正交矩阵S使：
[S^TBS = \Lambda]
记：
[P = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & & & \
\vdots & & S & \
0 & & &
\end{bmatrix}]
显然P是正交矩阵（(P^TP = I)）。则：
[P^TQ^{-1}AQP = \begin{bmatrix}
\lambda & 0 & \cdots & 0 \
0 & \lambda_2 & & \
\vdots & & \ddots & \
0 & & & \lambda_n
\end{bmatrix}]
即：
[Q^TAP = \begin{bmatrix}
\lambda & 0 & \cdots & 0 \
0 & \lambda_2 & & \
\vdots & & \ddots & \
0 & & & \lambda_n
\end{bmatrix}]
若A为实对称矩阵，即 (A = A^T)，则：
[Q^TAQ = (Q^TAQ)^T = Q^TA^TQ = Q^TAQ]
又因为B为上三角矩阵，所以B必是对角矩阵，即：
[Q^TAQ = \begin{bmatrix}
\lambda & 0 & \cdots & 0 \
0 & \lambda_2 & & \
\vdots & & \ddots & \
0 & & & \lambda_n
\end{bmatrix}]
所以实对称矩阵必可正交对角化。（另外：根据矩阵可对角化的充要条件，很容易得出n阶实对称矩阵具有n个线性无关的特征向量）
进一步讨论
但能正交对角化的矩阵不一定是实对称矩阵。事实上，矩阵A正交相似于对角阵的充要条件是矩阵A为正规矩阵，即 (AA^T = A^TA)，实对称矩阵是正规矩阵的一种。
参考资料
- David.C.Lay《线性代数及其应用》
- 程云鹏《矩阵论》
- 史荣昌《矩阵分析》
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