三角形的垂心

三角形的垂心

垂心的概念

三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心。

垂心的性质

必然存在

证明：

如图，由同侧角相等判定$A,B,E,D$四点共圆，则$\angle ABD=\angle AED$。

同理，$\angle ACF=\angle AED$。

由中间的斜八字型得$\angle AFC=\angle BDC=90^{\circ}$。

基本性质

1. 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边。

证明：由定义得。

2. 三角形的垂心与三个顶点构成一个垂心组，即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心。

效果图：

证明：

原三角形的的三边成为了新三角形的边和高，原三角形的高成为了新三角形的边和延长线。

由效果图显然易知。

推论

推论1（设H为$△ABC$的垂心）

当$△ABC$为锐角三角形时，有：

$AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$。

证明：

由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$，边的关系得证。

$\angle BHC=\angle EHF=180°-\angle BAC$，且$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$，显然易证$\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$。

对于其他两个角同理。

当$△ABC$为钝角三角形时，有：

$AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle CHA=\angle ABC$。

证明：思想同上。

对于其他两个角同理。

推论2：相似关系

有3组相似关系，每组有4个，如图展式一组：

由此显然易证$AH \cdot HD=BH \cdot HE=CH\cdot HF$（由比例式得，或由下面的四点共圆证）。

推论3，6组四点共圆（3组对角互补，3组同侧角相等），此处展式2组

推论4

点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上。

证明：

延长CE到G交外接圆于G，要求证HE=EG。

由斜八字得$\angle ACG=\angle ABD$，又由等弦对等角得$\angle ACG=\angle ABG$，则$\angle ABD=\angle ABG$。

由全等得HE=EG。

推论5

$△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆。

证明：由推论4翻折出来即可。