数学史上的一场革命：对数函数如何影响科学计算
数学史上的一场革命：对数函数如何影响科学计算
对数函数是数学中一种基本且重要的函数，它不仅是指数函数的逆函数，更在历史上极大地推动了科学计算的发展。从天文学到航海学，从物理学研究到工程计算，对数的发明让复杂的乘除运算转化为简单的加减运算，极大地提高了计算效率和准确性。本文将带你深入了解对数函数的定义、性质及其在科学计算中的重要作用。
对数函数的基本概念
对数函数(Logarithm)是数学中的一种基本函数，它是指数函数的逆函数。如果我们有一个指数方程，那么对应的对数方程是：
$$
a^b = c \Leftrightarrow \log_a c = b
$$
其中$a$是底数，$c$是真数。这里的$b$就是$c$以$a$为底的对数。
换句话说，对数函数回答了这样一个问题：底数需要被乘以自身多少次才能得到另一个特定的数？
在对数中，最常用的底数有自然对数底$e$（约等于2.71828）、常用对数底10，以及二进制对数底2。在数学和工程学中，自然对数和常用对数尤为重要，而二进制对数在计算机科学中具有广泛应用。
对数和指数的互逆关系
指数与对数是互逆关系，两者在数学中都是非常重要的。从下面图形中可以看到左边为指数表达，右边则是对数表达结构：
对数函数的图像特征
观察要点：
- 函数必经过点$(1,0)$处；
- 当$0<a<1$时，函数为严格单调下降；
- 当$a>1$时，函数为严格单调上升；
对数函数的性质
对数函数具有一些重要的性质，这些性质能够简化复杂的数学运算和数据处理。
- 乘法转加法：对数的一个核心性质是将乘法运算转换为加法运算。即：
$$
\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
$$
- 除法转减法：类似地，对数可以将除法运算转换为减法运算，即
$$
\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y
$$
- 幂运算转乘法：对数还可以将幂运算转化为乘法，即
$$
\log_a (x^y) = y \log_a x
$$
- 对数的底数变换公式：
$$
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
$$
其中$b$是新的底数，这个公式使得我们能够在不同底数的对数之间进行转换。
对数表的伟大意义
在16世纪和17世纪，天文学家和航海家需要进行大量的计算，以确保精确性和安全性。这些计算通常涉及复杂的三角函数和大数的乘除法，非常耗时且容易出错。而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算，这个发现当时震动了整个数学界。
以计算 $512 \times 8192$ 为例，看下整个计算的过程。下面图形是底数为2对应的幂以及相对应的结果，类似这样的映射关系是人们可以直接从《常用对数表》直接查询到的。
想要求出 $512 \times 8192$ 的结果，需要查 $512$ 所对应的指数为 $9$，而 $8192$ 对应 $13$。
然后可以轻松计算出 $9+13=22$，上面过程用公式表达如下：
$$
\log_2 (512 \times 8192) = \log_2 512 + \log_2 8192 = 9 + 13 = 22
$$
再去《对数反查表》中反向去查 $22$ 所对应的值，就得到结果为 $4194304$，因此，$512 \times 8192 = 4194304$。
上面是把两个大数（$512 \times 8192$）的乘法转化成加法（$9+13$）借助查表算出结果，类似对于大数的除法运算也可以转成减法来做。加减法当然要比乘除法更容易的多，所以说这是一个伟大的简化数值计算方法。