为什么雨滴落下不会砸死人？《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律
为什么雨滴落下不会砸死人？《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律
为什么雨滴落下不会砸死人？这个问题看似简单，却涉及流体力学中的斯托克斯定律。近日，《张朝阳的物理课》第二百二十五期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，从流体力学最基本的纳维尔-斯托克斯方程出发，"马拉松"式地一步步推导出斯托克斯定律，课堂全程持续近5个小时。
首先，张朝阳对雨滴下落速度进行了求解，算出雨滴下落的最终速度为10m/s，和大家日常生活的经验十分吻合，说明斯托克斯定律对空气阻力的描述相当地好。但斯托克斯定律并不能完美地描述雨滴实际受到的阻力。可以认为，在雨滴很小的情况下，它总是近似成立的。
那为什么空气阻力可以具有与速度的线性关系？斯托克斯定律为什么能在小雨滴在空气中下落的情形下成立？它又是否是对所有的流体导致的阻力都适用的呢？张朝阳首先从流体力学最基础的NS方程出发回答这些问题。
被简化为了一个线性微分方程的NS方程
涡度是速度场的旋度，所以它是无散的。因此涡度场也满足泊松方程。标量的泊松方程在之前的课上有相当多的处理经验，但矢量的泊松方程是之前从没遇到过的。于是张朝阳灵活切换坐标系，转化涡度场的矢量泊松方程。
泊松方程
然后巧借氢原子球谐函数，求解球坐标下的压强场和涡度场。
张朝阳类比电动力学引入斯托克斯流函数
张朝阳表示，上一节利用之前的物理课解氢原子薛定谔方程的经验，成功得出了压强场(20)和涡度场(23)，但它们各自都有一个待定系数，需要用边界条件来定出。然而涡度的边界条件是难以给定的，因为根据(10)式，它和速度的两个分量vr、vθ的导数都有关系。
回忆引入涡度时，出发点是为了将(1)式右边的二阶导变成一阶导，相当于视角升了一个台阶，从而降低微分的阶数。那么有没有可能再转化一次视角，把vr和vθ统一成另一个中间量，以便于引入边界条件呢？答案是可行的。
最后，在经过计算流体作用在球状物体上的斯托克斯阻力后，就完成了对斯托克斯定律的推导。
斯托克斯定律
回顾整堂课的推导过程，虽然要解决的是流体力学问题，但其中贯穿了各个领域的知识，比如从电动力学的矢量微积分引入了涡度、速度、斯托克斯流函数的"三层楼"，借用量子力学中的球谐函数解出了涡度角向分量的泊松方程。
当然，从历史进程来看，数学家们先是在研究流体力学时发展了这些工具，再到后来发展电动力学和量子力学时，人们就可以直接使用这些已经发展好的工具。
而《张朝阳的物理课》研习路径则刚好反了过来，是先学习了电动力学和量子力学，再来研究这个大部分普通物理课上一笔带过的斯托克斯定律。张朝阳以此提示大家，学科的发展本就没有领域的限制，只有将一个领域的内容学扎实了，才能在面对新问题时灵活运用先前的知识。
本堂课也是在向斯托克斯致敬。斯托克斯在剑桥执教期间对流体力学领域做出很多奠基性的贡献，并早在1851年就得出了今天所讲的斯托克斯定律。他的研究对后世产生了深远的影响，比如矢量分析的工具帮助了麦克斯韦在1865年建立起电磁方程组，密立根油滴实验用到了斯托克斯定律来确定油滴的质量，风洞试验、汽车风阻模拟、机翼设计等工程问题也处处有NS方程的身影。
NS方程的解的存在性与光滑性至今仍是数学界的研究热点，并在21世纪初被列为千禧年七大数学难题之一。尽管现在能借助计算机数值求解NS方程，但寻找解析解依旧是帮助人们理解物理图像的重要手段之一。
据了解，《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP"关注流"中搜索"张朝阳"，观看直播及往期完整视频回放；关注"张朝阳的物理课"账号，查看课程中的"知识点"短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的"搜狐科技"账号上，阅览每期物理课程的详细文章。