Floyd算法——求图中所有点之间最短路径

Floyd算法——求图中所有点之间最短路径

Floyd算法是一种用于求解图中所有点之间最短路径的经典算法，与Dijkstra算法类似。该算法采用动态规划的思想，通过不断松弛路径来寻找最短路径。本文将详细介绍Floyd算法的基本概念、算法思想、图解过程以及复杂度分析。

简介

Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，与Dijkstra算法类似。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。简单的来说，算法的主要思想是动态规划(dp)，而求最短路径需要不断松弛。

根据目前已知的任意两点间的最短路径，依次以各个节点作为中间节点改变路径，不断比较寻找任意两点间更短的路径，直到所有节点都作为过中间节点后，得出最短路径。

算法思想

邻接矩阵(二维数组)
dist
储存路径，数组中的值开始表示点点之间初始直接路径，最终是点点之间的最小路径，有两点需要注意的，第一是如果没有直接相连的两点那么默认为一个很大的值(不要因为计算溢出成负数)，第二是自己和自己的距离要为0。
从第1个到第n个点依次加入松弛计算，每个点加入进行试探枚举是否有路径长度被更改(自己能否更新路径)。顺序加入(k枚举)松弛的点时候，需要遍历图中每一个点对(i,j双重循环)，判断每一个点对距离是否因为加入的点而发生最小距离变化，如果发生改变(变小)，那么两点(i,j)距离就更改。

状态转移方程为:

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])  

其中
dp[a][b]
的意思可以理解为点a到点b的最短路径,所以
dp[i][k]
的意思可以理解为i到k的最短路径
dp[k][j]
的意思为k到j的最短路径.
重复上述直到最后插点试探完成。

算法图解

初始情况每个点只知道和自己直接相连的点的距离，而其他间接相连的点还不知道距离，比如 A-B=2, A-C=3 但是 B-C 在不经过计算的情况是不知道长度的。

加入第一个节点
A
进行更新计算,大家可以发现，由于
A
的加入，使得本来不连通的
B，C
点对和
B，D
点对变得联通，并且加入
A
后距离为当前最小，同时你可以发现加入
A
其中也使得
C-D
多一条联通路径（6+3），但是
C-D
联通的话距离为9远远大于本来的
(C,D)
联通路径2，所以这条不进行更新。

继续加入第二个节点
B
，这个点执行和前面
A
相同操作进行。对一些点进行更新。因为和
B
相连的点比较多，可以产生很多新的路径。
这里新路径统一用1表示，原来长度用0表示。 AF1=AB+BF=6+2=8 < AF0(∞) 进行更新 AE1=AB+BE=2+4=6 < AE0(∞) 进行更新 CE1=CB+BE=5+5=9 < CE0(∞) 进行更新 CF1=CB+BF=5+6=11<CF0(∞) 进行更新 EF1=EB+BF=4+6=10<EF0(∞) 进行更新 当然，也有一些新的路径大于已有路径不进行更新，例如： AC1=AB+BC=2+5=7>AC0(3)不更新AD1=AB+BD=2+8=10>AD0(6)不更新……

后序加入C、D、E、F都是进行相同的操作,最终全部加完没有路径可以更新就结束停止。实际上这个时候图中的连线就比较多了。这些连线都是代表当前的最短路径。这也和我们的需求贴合，我们最终要的是所有节点的最短路径。每个节点最终都应该有5条指向不同节点的边！矩阵对应边值就是点点之间最短路径。

复杂度

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为{\displaystyle O(|V|^{3})}，空间复杂度为{\displaystyle O(|V|^{2})}，其中{\displaystyle V}是点集。