艾里斑半径与显微镜分辨力公式d=0.61λ/NA

艾里斑半径与显微镜分辨力公式d=0.61λ/NA

艾里斑是光学系统中一个重要的概念，它描述了理想点光源经过光学系统后形成的光斑大小。本文将深入探讨艾里斑半径的计算公式及其与显微镜分辨力的关系，帮助读者理解这一核心光学概念。

一、艾里斑

首先我们得把艾里斑半径这个名词理解透彻。通俗地说，一个理想的点光源，经过我们设计的光学系统，都会成为一个光斑，光斑半径的大小与这个光学系统的F数，波长有关，F数越小，波长越短，对应的光斑半径越小。

理想点光源发出的光，在空间是均匀分布的，我们用有限口径的镜头对其成像，是获取不了这个理想点光源的全部信息的，我们受限与这个光学系统的口径（入瞳直径），这也就是常说的光学系统是一个衍射受限系统，也就是受限这个入瞳直径。点光源经过这样一个圆形入瞳的光学系统（这里分析常规镜头），发生了衍射，也即是圆孔弗朗禾费衍射，其光强分布符合一阶贝塞尔函数（此处可百度这个函数，当然也可以不用去了解，有点复杂），当

x=πDsinθ/λ

时，其曲线图和三维图如下所示：

可以看出第一个零点（偏导为0）是3.8317，即上面的公式

x=πDsinθ/λ≈3.8317

公式进行转化下，即可得到

sinθ≈1.2197λ/D

这就是我们所说的光斑能量主要集中在这样一个角半径范围内，当角半径大于这个值，能量急剧衰减。这里其实讲解不是很严谨，因为光斑能量分布是和一阶贝塞尔函数函数成正比的，趋势如此，光斑并不是完全这样分布，可深入研究。这里不展开，把角半径转化为半径，即

sinθ≈1.2197λ/D=D/f

推导得到艾里斑半径公式

d=1.2197λf/D=1.2197λF/#≈1.22λF/#

这就是我们最熟悉的公式了。 前面阐述这么多，汇总一句话就是一个理想的点光源，经过一个理想光学系统（没有任何像差）之后，会是一个斑，这个斑的半径和光学系统的波长、F数有关。

瑞利判据里说的这个距离就是光学系统的分辨力，就是艾里斑中心与另一个艾里斑的一级暗环重合的时候的这个距离值，通常认为就是艾里斑的半径值。

二、艾里斑半径与显微分辨力关系：

光学仪器的分辨率:

基于衍射理论,瑞利对光学系统的分辨率做了如下的阐述:两个相邻的"点"光源所成的像是两个衍射斑,若两个等光强的非相干点像之间的间隔等于艾里圆的半径,即一个像斑的中心恰好落在另一个像斑的第一暗环处,则这两个点就是可分辨的点,如下图

当两个点可分辨时,两个弥散斑的叠加光强分布曲线的极大值和极小值之间的差异为1:0.736,且两点中间的最小光强等于艾里圆x=1.916处光强的两倍.

利用上面表中给出的数值可求得两分辨点的距离,即艾里圆上x=3.83时对应的间距:

式中,f为光学系统焦距; λ为波长;D为光学系统入射光瞳直径.当物面在无穷远时,以两点对光学系统的张角可表示两分辨点的间距,其值为:

φ=1.22λ/D

上面的铺垫作的也差不多了,接下来就继上面的基础,来解释下显微镜的分辨率:

显微镜的分辨率用分辨的距离表示,在式

以D/(2f)≈sinU代入,并考虑到物镜物空间折射率n的影响,则得

以D/(2f)≈sinU代入,并考虑到物镜物空间折射率n的影响,则得

d=0.61λ/NA

其中，d=1.2197λf/D=1.2197λF/#≈1.22λF/#

D=2NAf

NA=n*sinα

F/#=f/D

F#=f/D=1/(2*NA)

三、相关文献：

《艾里斑：我不是雀斑》

《艾里斑直径=两个像素尺寸，探测器截止频率公式f=1/(2*pixcel)》

《光学分辨率和分辨力》

《(入瞳)出瞳直径与数值孔径关系——正弦条件(D=2NAF)》

《孔径类型转换F#=f/D=1/(2*NA)：数值孔径(NA)、F数(F/#)、入瞳直径(EPD)》

《焦深/景深公式[λ/(NA*NA)]推导——瑞利判据》

《Rayleigh(瑞利)判据——△θ0=1.22λ/D》

《望远镜的分辨本领_瑞利判据(有效放大率4.335/D)》