傅里叶变换公式的推导：从离散到连续
傅里叶变换公式的推导：从离散到连续
傅里叶变换是信号处理、图像处理等领域的基础理论，它将时域信号转换为频域信号，使我们能够从频率的角度分析和处理信号。本文将从离散傅里叶变换出发，推导出连续傅里叶变换的公式，帮助读者深入理解这一重要理论。
从离散到连续
回顾第四章
在周期 $T$，傅里叶变换公式为：
$$
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty }C_ne^{in\Delta{w}t} \
C_n =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\Delta{w}t}dt \
式1
$$
这里 $\Delta{w}=\frac{2\pi}{T}$，这是一个的区间
当周期 $T$ 无穷大，$\Delta{w}$ 趋近无穷小，$n\Delta{w}$ 区间无穷小，频域趋于连续。
于是, 根据积分定义：
$$
T \Rightarrow \infty \
n\Delta{w} \Rightarrow w \
\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\Delta{w}} \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} dw \
\int_{0}^{T}dt \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}dt \
式2
$$
由于 $\frac{1}{T} = \frac{\Delta{w}}{2\pi}$，式1 变成：
$$
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty }\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\Delta{w}t}dte^{in\Delta{w}t} \
f(t) =\sum_{n=-\infty}^{\infty }\frac{\Delta{w}}{2\pi}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\Delta{w}t}dte^{in\Delta{w}t} \
式2带入 \
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i{w}t}dte^{i{w}t}dw \
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i{w}t}dte^{i{w}t}dw \
$$
F(w)
把中间部分写成 $F(w)$。即：
$$
F(w)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i{w}t}dt ;(傅里叶变换FT) \
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{i{w}t}dw ;(傅里叶变换的逆变换)\
$$