空间直线方程及参数方程

空间直线方程及参数方程

空间直线方程及参数方程

对称式方程及参数方程

由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的 方向向量 . 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的

一点 ${M}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}\right)$ 及一个方向向量 $s=\left(m,n,p\right)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) . 如果 $M\left(x,y,z\right)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 ${\overline{M}}_{0}M//\mathbit{s}$ ，根据平面向量定理，对应坐标应该成比例，即有

$\overline{)\frac{x-{x}_{0}}{m}=\frac{y-{y}_{0}}{n}=\frac{z-{z}_{0}}{p}...\left(2\right)}$

注 ①当 $m,n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ ，而 $n$ 与 $pe 0$ 时，这个方程组应理解为

$\left\{\begin{array}{l}x-{x}_{0}=0\\ \frac{y-{y}_{0}}{n}=\frac{z-{z}_{0}}{p}\end{array}$

当 $m,n$ 和 $p$ 中有两个为零，例如 $m=n=0$ ，而 $pe 0$ 时，这个方程组应理解为

$\left\{\begin{array}{l}x-{x}_{0}=0,\\ y-{y}_{0}=0.\end{array}$

参数方程

(2) 式是含有末知数 $x,y,z$ 的方程组. 从上面推导可知，直线 $l$ 上任意一点 $M\left(x,y,z\right)$ 的坐标满足(2)式. 反之，如果点 $M\left(x,y,z\right)$ 不在直线上，那么向量 ${M}_{0}M$ 与 $s$ 就不平行，于是点 $M\left(x,y,z\right)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即为直线的 对称式方程 ，也称点向式方程.

这里 $s=\left(m,n,p\right)$ 的三个坐标就称为 方向数 ，而 $s$ 的方向余弦就叫做该直线的 方向余弦 .

若设 $\frac{x-{x}_{0}}{m}=\frac{y-{y}_{0}}{n}=\frac{z-{z}_{0}}{p}=t$ ，

则有直线的参数方程

$\overline{)\left\{\begin{array}{l}x={x}_{0}+mt\\ y={y}_{0}+nt\\ z={z}_{0}+pt\end{array}...\left(3\right)}$

例1用点向式方程或参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0\\ 2x-y+3z+4=0\end{array}$.

解 令 ${x}_{0}=1$ ，代入方程得

$\left\{\begin{array}{c}y+z=-2\\ -y+3z=-6\end{array},$

解得 $y=0，z=-2$ ， 即得到该直线上的一点： ${M}_{0}\left(1,0,-2\right)$ ，由于直线的方向向量 $\mathbit{s}$ 与相交平面的法向量 ${\mathbit{n}}_{1}=\left(1,1,1\right)，{\mathbit{n}}_{2}=\left(2,-1,3\right)$ 都垂直，故可取

$\mathbit{S}={\mathbit{n}}_{1}×{\mathbit{n}}_{2}=|\begin{array}{ccc}\mathbit{i}& \mathbit{j}& \mathbit{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 3\end{array}|=\left(4,-1,-3\right)$

${M}_{0}\left(1,0,-2\right),\phantom{\rule{1em}{0ex}}\mathbit{S}=\left(4,-1,-3\right)$.

因此直线的点向式方程为

$\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3},$

直线的参数方程为

$\left\{\begin{array}{c}x=1+4t\\ y=-t\\ z=-2-3t\end{array}.$

例2 求过点 $A\left(1,0,1\right)$ 和 $B\left(-2,1,1\right)$ 的直线方程.

向量 $\stackrel{\to }{AB}=\left(-3,1,0\right)$ 是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为

$\frac{x-1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}.$