数列求通项公式十三种方法总结讲义-2025届高三数学二轮复习

数列求通项公式十三种方法总结讲义-2025届高三数学二轮复习

数列求通项公式是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中的高频考点。掌握数列求通项公式的方法对于提高解题能力和应试水平具有重要意义。本文总结了数列求通项公式的十三种方法，包括观察法、累加法、累乘法、待定系数法、特征根法、不动点法、换元法、数学归纳法、构造法、倒数法、对数法、差分法和矩阵法等。每种方法都配有详细的例题解析，帮助学生更好地理解和掌握这些方法。

1. 观察法

观察法是最基本的方法，适用于一些简单的数列。通过观察数列的前几项，找出数列的规律，从而求出通项公式。

例1：已知数列的前几项为1，3，5，7，9，…，求通项公式。

解：观察数列的前几项，可以发现这是一个等差数列，公差为2，首项为1。因此，通项公式为an = 1 + (n-1)×2 = 2n - 1。

2. 累加法

累加法适用于形如an+1 = an + f(n)的递推数列。通过将递推关系式累加，可以得到通项公式。

例2：已知数列满足an+1 = an + 2n，且a1 = 1，求通项公式。

解：将递推关系式累加，得到an = a1 + 2×1 + 2×2 + … + 2×(n-1) = 1 + 2×(1+2+…+(n-1)) = 1 + 2×(n-1)×n/2 = n^2 - n + 1。

3. 累乘法

累乘法适用于形如an+1 = an×f(n)的递推数列。通过将递推关系式累乘，可以得到通项公式。

例3：已知数列满足an+1 = an×2^n，且a1 = 1，求通项公式。

解：将递推关系式累乘，得到an = a1×2^1×2^2×…×2^(n-1) = 2^(1+2+…+(n-1)) = 2^(n(n-1)/2)。

4. 待定系数法

待定系数法适用于形如an+1 = pan + q的递推数列。通过设an = A×p^n + B，代入递推关系式，求出A和B的值，从而得到通项公式。

例4：已知数列满足an+1 = 2an + 3，且a1 = 1，求通项公式。

解：设an = A×2^n + B，代入递推关系式，得到A×2^(n+1) + B = 2×(A×2^n + B) + 3，化简得到B = -3。再将a1 = 1代入，得到A = 2。因此，通项公式为an = 2×2^n - 3。

5. 特征根法

特征根法适用于形如an+2 = pan+1 + qan的递推数列。通过求解特征方程r^2 - pr - q = 0，得到特征根r1和r2，从而得到通项公式。

例5：已知数列满足an+2 = 3an+1 - 2an，且a1 = 1，a2 = 3，求通项公式。

解：求解特征方程r^2 - 3r + 2 = 0，得到特征根r1 = 1，r2 = 2。因此，通项公式为an = A×1^n + B×2^n。再将a1 = 1，a2 = 3代入，得到A = -1，B = 2。因此，通项公式为an = -1 + 2×2^n。

6. 不动点法

不动点法适用于形如an+1 = f(an)的递推数列。通过求解方程x = f(x)，得到不动点x0，从而得到通项公式。

例6：已知数列满足an+1 = 2an/(an + 1)，且a1 = 1，求通项公式。

解：求解方程x = 2x/(x + 1)，得到不动点x0 = 1。因此，通项公式为an = 1/(1 + (1/a1 - 1)×(1/2)^(n-1))。

7. 换元法

换元法适用于形如an+1 = f(an)的递推数列。通过设bn = g(an)，将递推关系式转化为关于bn的递推关系式，从而求出通项公式。

例7：已知数列满足an+1 = 1/(1 - an)，且a1 = 1/2，求通项公式。

解：设bn = 1/an - 1，将递推关系式转化为bn+1 = bn + 1。因此，bn = b1 + (n-1)×1 = 1 + (n-1)×1 = n。因此，an = 1/(1 + 1/bn) = 1/(1 + 1/n) = n/(n+1)。

8. 数学归纳法

数学归纳法适用于证明数列的通项公式。通过证明当n = 1时成立，假设当n = k时成立，证明当n = k+1时也成立，从而证明通项公式对所有正整数n都成立。

例8：已知数列满足an+1 = 2an + 1，且a1 = 1，求通项公式，并用数学归纳法证明。

解：通过观察法，可以猜测通项公式为an = 2^n - 1。当n = 1时，a1 = 2^1 - 1 = 1，成立。假设当n = k时，ak = 2^k - 1成立，那么ak+1 = 2ak + 1 = 2×(2^k - 1) + 1 = 2^(k+1) - 1，也成立。因此，通项公式an = 2^n - 1对所有正整数n都成立。

9. 构造法

构造法适用于形如an+1 = f(an)的递推数列。通过构造一个新的数列bn，使得bn+1 = g(bn)，从而求出通项公式。

例9：已知数列满足an+1 = 2an + 3，且a1 = 1，求通项公式。

解：设bn = an + 3，那么bn+1 = an+1 + 3 = 2an + 3 + 3 = 2bn。因此，bn = b1×2^(n-1) = 4×2^(n-1) = 2^(n+1)。因此，an = bn - 3 = 2^(n+1) - 3。

10. 倒数法

倒数法适用于形如an+1 = f(an)的递推数列。通过取倒数，将递推关系式转化为关于1/an的递推关系式，从而求出通项公式。

例10：已知数列满足an+1 = an/(an + 1)，且a1 = 1，求通项公式。

解：取倒数，得到1/an+1 = (an + 1)/an = 1 + 1/an。因此，1/an+1 - 1/an = 1。因此，1/an = 1/a1 + (n-1)×1 = 1 + (n-1)×1 = n。因此，an = 1/n。

11. 对数法

对数法适用于形如an+1 = an^p的递推数列。通过取对数，将递推关系式转化为关于log(an)的递推关系式，从而求出通项公式。

例11：已知数列满足an+1 = an^2，且a1 = 2，求通项公式。

解：取对数，得到log(an+1) = log(an^2) = 2log(an)。因此，log(an) = log(a1)×2^(n-1) = log(2)×2^(n-1)。因此，an = 2^(2^(n-1))。

12. 差分法

差分法适用于形如an+1 = an + f(n)的递推数列。通过求差分，将递推关系式转化为关于Δan的递推关系式，从而求出通项公式。

例12：已知数列满足an+1 = an + 2n，且a1 = 1，求通项公式。

解：求差分，得到Δan = an+1 - an = 2n。因此，an = a1 + Δa1 + Δa2 + … + Δa(n-1) = 1 + 2×1 + 2×2 + … + 2×(n-1) = 1 + 2×(1+2+…+(n-1)) = 1 + 2×(n-1)×n/2 = n^2 - n + 1。

13. 矩阵法

矩阵法适用于形如an+2 = pan+1 + qan的递推数列。通过将递推关系式转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求出通项公式。

例13：已知数列满足an+2 = 3an+1 - 2an，且a1 = 1，a2 = 3，求通项公式。

解：将递推关系式转化为矩阵形式，得到



通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到通项公式为an = A×1^n + B×2^n。再将a1 = 1，a2 = 3代入，得到A = -1，B = 2。因此，通项公式为an = -1 + 2×2^n。

通过以上十三种方法，可以解决各种类型的数列求通项公式问题。掌握这些方法对于提高解题能力和应试水平具有重要意义。