解析几何笔记：向量分解定理
解析几何笔记：向量分解定理
3. 向量分解定理
3.1 线性组合
- 有n个向量$\pmb{\alpha}{1},\pmb{\alpha}{2},...,\pmb{\alpha}{n}$，对应有n个实数$\lambda{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$，可以用这n个实数对应地与这n个向量做数乘，会得到一组n个新的向量：
$\lambda_{1}\pmb{\alpha}{1},\lambda{2}\pmb{\alpha}{2},...,\lambda{n}\pmb{\alpha}_{n}$
将它们从头加到尾得到一个新的向量：
$\pmb{\beta}=\lambda_{1}\pmb{\alpha}{1}+\lambda{2}\pmb{\alpha}{2}+...+\lambda{n}\pmb{\alpha}_{n}$
称$\pmb{\beta}$可由$\pmb{\alpha}{1},\pmb{\alpha}{2},...,\pmb{\alpha}{n}$分解，且$\pmb{\beta}$可以写成$\pmb{\alpha}{1},\pmb{\alpha}{2},...,\pmb{\alpha}{n}$的线性组合。
【例】
这个平面里的任意一个向量都可以由$\pmb{e}{1}$和$\pmb{e}{2}$分解
3.2 向量分解定理
【定理1.1】（向量分解定理）
（1）如果三个向量$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$共面，并且$\pmb{\alpha},\pmb{\beta}$不平行，则$\pmb{\gamma}$可以对$\pmb{\alpha},\pmb{\beta}$分解，并且分解方式唯一。
（2）如果$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$不共面，则任何向量$\pmb{\delta}$都可以对$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$分解，并且分解方式唯一。
【证】（1）先证$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$共面的情况
取点O使得，$\vec{OA}=\pmb{\alpha},\vec{OB}=\pmb{\beta},\vec{OC}=\pmb{\gamma}$
过C点做OB的平行线，交OA于D点，存在$\mu\in\mathbb{R}$，使得$\vec{DC}=\mu\pmb{\beta}$，存在$\lambda\in\mathbb{R}$，使得$\vec{OD}=\lambda\pmb{\alpha}$，于是由三角形法则知，
$\vec{OD}+\vec{DC}=\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}=\vec{OC}=\pmb{\gamma}$
即$\pmb{\gamma}=\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}$
现在证此分解为唯一的，用反证法：
若$\exists\lambda',\mu'$使得$\lambda'\pmb{\alpha}+\mu'\pmb{\beta}=\pmb{\gamma}$
则$0=\pmb{\gamma}-\pmb{\gamma}=\lambda\pmb{\alpha}-\lambda'\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}-\mu'\pmb{\beta}=(\lambda-\lambda')\pmb{\alpha}+(\mu-\mu')\pmb{\beta}$
不妨设$\lambda\ne\lambda'$（为了保证两种线性组合是不一样的线性组合）
则$\pmb{\alpha}=\frac{(\mu-\mu')\pmb{\beta}}{\lambda-\lambda'}$
此时$\pmb{\alpha}$与$\pmb{\beta}$平行，矛盾
则$\pmb{\gamma}$可以对$\pmb{\alpha},\pmb{\beta}$分解，并且分解方式唯一。
（2）证$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$不共面的情况
过D点做OA的平行线DE，使得E点落在平面OAB上，则$\vec{ED}=k\pmb{\gamma},k\in\mathbb{R}$，由于$\vec{OE}$与$\vec{OA}=\pmb{\alpha}$和$\vec{OB}=\pmb{\beta}$共面且$\pmb{\alpha}$和$\pmb{\beta}$不平行，则$\vec{OE}=q\pmb{\alpha}+p\pmb{\beta},q,p\in\mathbb{R}$，$\pmb{\delta}=\vec{OD}=\vec{OE}+\vec{ED}=q\pmb{\alpha}+p\pmb{\beta}+k\pmb{\gamma}$
然后证分解方式唯一，用反证法
假设分解方式不唯一，即$\exists q',p',k'\in\mathbb{R}$使得$\pmb{\delta}=q'\pmb{\alpha}+p'\pmb{\beta}+k'\pmb{\gamma}$
则$\pmb{0}=\pmb{\delta}-\pmb{\delta}=q\pmb{\alpha}-q'\pmb{\alpha}+p\pmb{\beta}-p'\pmb{\beta}+k\pmb{\gamma}-k'\pmb{\gamma}=(q-q')\pmb{\alpha}+(p-p')\pmb{\beta}+(k-k')\pmb{\gamma}$
为了保证分解方式不唯一，不妨设$k\ne k'$
则$\pmb{\gamma}=\frac{(q-q')\pmb{\alpha}+(p-p')\pmb{\beta}}{k-k'}$，则说明$\pmb{\gamma}$可由$\pmb{\alpha}$和$\pmb{\beta}$分解，则$\pmb{\gamma}$和$\pmb{\alpha}$和$\pmb{\beta}$共面，与$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$不共面矛盾
则命题得证。
3.3 向量分解定理的推论
$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$共面$\Leftrightarrow\exists$不全为0的三个实数$\lambda,\mu,\delta\in\mathbb{R}$，使得$\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}+\delta\pmb{\gamma}=\pmb{0}$
（换句话说就是0向量对三个共面向量的分解方式不唯一）
【证】先证充分性，用反证法
假设
若$\exists$不全为0的三个实数$\lambda,\mu,\delta\in\mathbb{R}$，$\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}+\delta\pmb{\gamma}=\pmb{0}$，使得$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$不共面。
$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$不共面，由向量分解定理知，$\vec{0}$一定可以由$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$分解，且分解方法唯一，即$0\cdot\pmb{\alpha}+0\cdot\pmb{\beta}+0\cdot\pmb{\gamma}=\vec{0}$
这与$\exists$不全为0的三个实数$\lambda,\mu,\delta\in\mathbb{R}$，$\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}+\delta\pmb{\gamma}=\pmb{0}$（分解方法不唯一）矛盾，则充分性成立。
再证必要性：
由于$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$共面
（1）若有一个0向量，不妨设$\pmb{\alpha}=\vec{0}$，则$1\cdot\pmb{\alpha}+0\cdot\pmb{\beta}+0\cdot\pmb{\gamma}=\pmb{0}$
（2）若$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}\ne\vec{0}$
若有两个向量是平行的，不妨设$\pmb{\alpha}//\pmb{\beta}$，即$\exists \lambda\in\mathbb{R}$且$\lambda\ne 0$，使得$\pmb{\beta}=\lambda\pmb{\alpha}$，则$-\lambda\pmb{\alpha}+\lambda\pmb{\beta}+0\cdot\pmb{\gamma}=\pmb{0}$
（3）若$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$两两不平行，由于$\pmb{\alpha},\pmb{\beta},\pmb{\gamma}$共面，由向量分解定理知$\exists \lambda,\mu\in\mathbb{R}$使得$\pmb{\gamma}=\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}$
则$\lambda\pmb{\alpha}+\mu\pmb{\beta}-\pmb{\gamma}=\vec{0}$
不全为0的实数找到了，必要性成立。
3.4 三点共线
（这部分内容由于原文中未完成，因此在本篇笔记中省略）