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详细向不懂数学的人解释微积分，特别是再神经网络优化、链式求导中的例子

创作时间:

作者:

@小白创作中心

详细向不懂数学的人解释微积分，特别是再神经网络优化、链式求导中的例子

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/sinat_37574187/article/details/145293294

好的！让我们用简单的语言解释微积分，以及它在神经网络优化和链式求导中的角色。

1. 什么是微积分？

微积分是数学中的一种工具，用来解决两类问题：

微分：研究事物的变化速度，比如“温度变化的速度”或者“汽车行驶的速度”。

想象你在开车，车速表告诉你每一刻的速度。这就是“变化率”，微分就是用数学来描述这种变化率的工具。

积分：研究事物累计的总量，比如“汽车开了2 小时后累计行驶了多少公里”。

你可以理解为“把每一段小距离加起来，得到总距离”，积分就是用数学来描述这种累计总量的工具。

2. 微分在神经网络中的角色

在神经网络中，微分的核心作用是帮助我们调整模型的参数（比如权重和偏置），使得模型表现更好。这个过程叫做优化。

举个例子：

假设你在教一个神经网络分辨“猫”和“狗”的图片。一开始，神经网络可能会犯很多错误，比如把猫误认为狗。我们需要调整神经网络中的参数，让它犯的错误更少。

微分在这里的作用是告诉我们“参数应该怎么调整”。具体来说，微分帮我们计算出：

如果调整某个参数，模型的错误率会增加还是减少？
调整多少，效果才最好？

3. 链式求导：分步骤计算复杂情况

在神经网络中，计算一次错误率（损失）通常是一个非常复杂的过程，因为模型内部有很多层，每层都经过一些数学运算才能最终输出结果。

举个简单的类比：

假设你在山顶，想下山到谷底。下山的路很复杂，每一步都受前一步的影响。你需要知道：

当前这一步的坡度是向下的还是向上的；
如果坡度向上，应该换个方向；
每一步都要重新计算坡度。

链式求导就像是告诉你，在每一步中如何根据局部的坡度调整方向，最终找到“最快下山的路”。

4. 在神经网络中的例子：链式求导的用途

神经网络的训练过程可以分为以下三步：

前向传播：
把输入（比如一张图片）通过网络层层计算，得到一个输出（比如预测“猫”或“狗”以及对应的概率）。
计算损失：
比较预测值和真实值之间的差距（比如预测的是 80% 是猫，但真实值是 100% 是猫），计算出一个“损失函数值”，表示模型的错误率。
反向传播（用到链式求导）：
使用微分和链式求导，计算每个参数对损失的影响，逐层调整参数。

举例：

假设神经网络有三层：

第一层：输入是图片像素，输出是一些数字（特征）。
第二层：输入这些特征，输出更复杂的特征。
第三层：最终输出预测结果（猫或狗的概率）。

为了调整每一层的参数，我们需要知道：

第三层的输出如何影响损失（这是一个微分）。
第二层的输出如何影响第三层的输出（另一个微分）。
第一层的输出如何影响第二层的输出（再一个微分）。

通过链式求导，我们把这些微分串联起来，逐层计算，最终知道每个参数对损失的影响。

5. 类比：微分和链式求导的直观理解

（1）微分的直观理解：

假设你在一个山坡上骑自行车。微分告诉你：

当前的坡度是向上还是向下。
如果坡度向上，你需要往下踩多用力才能加速下山。

（2）链式求导的直观理解：

假设你在一条很长的山路上骑车，这条山路分成了很多段，每一段都有不同的坡度。为了下山最快，你需要：

先知道最后一段路（损失）是怎么变化的；
然后倒推前面每一段的坡度是怎样的；
最后，综合所有路段的坡度调整你的策略，找到最快下山的方式。

链式求导就是帮助你把每一段路的坡度（微分）串联起来，指导你最终的调整方向。

6. 总结

微分：用来描述变化率。在神经网络中，微分告诉我们“参数怎么调整，损失才会更小”。
链式求导：用来把复杂系统中的每一步变化串联起来，逐层计算参数的影响。

在神经网络优化中，微积分的核心作用是通过反向传播算法，逐层计算每个参数的梯度（变化率），然后用这些梯度来调整网络，使模型的预测越来越准确。这就像是骑车下山，找到最快的路线到达谷底！

再来用公式形式化地为上述过程插入公式

GPT-4o

好的！接下来我们用公式的形式化描述来补充上述过程，同时保持尽量简单易懂的解释。

1. 微分的核心公式

微分可以被理解为函数变化率的数学表达。对于一个函数 f(x)f(x)f(x)，它的导数（微分）定义为：

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

f′(x)=Δx→0lim Δxf(x+Δx)−f(x)

直观意义是：当 xxx 发生很小的变化 Δx\Delta xΔx 时，函数值 f(x)f(x)f(x) 的变化率是多少。

2. 神经网络的优化问题

在神经网络中，优化的目标是最小化损失函数 LLL。损失函数 LLL 表示模型预测值与真实值之间的误差。我们用一个简单的神经网络来描述这个过程。

目标函数

假设神经网络的输出是一个函数 y=f(x;θ)y = f(x; \theta)y=f(x;θ)，

其中：

xxx 是输入（比如一张图片的像素值）。
θ\thetaθ 是模型的参数（比如权重和偏置）。
f(x;θ)f(x; \theta)f(x;θ) 是神经网络的预测结果（比如预测猫的概率）。

损失函数 LLL 通常是预测结果 f(x;θ)f(x; \theta)f(x;θ) 和真实标签 ytruey_{\text{true}}ytrue 的差距（比如均方误差或交叉熵）：

L=Loss(f(x;θ),ytrue)L = \text{Loss}(f(x; \theta), y_{\text{true}})L=Loss(f(x;θ),ytrue )

优化的目标就是通过调整参数 θ\thetaθ，使损失 LLL 最小化。

梯度下降法

为了最小化损失 LLL，我们需要计算每个参数 θi\theta_iθi 对损失的影响，即计算损失函数对参数的偏导数 ∂L∂θi\frac{\partial L}{\partial \theta_i}∂θi ∂L 。然后根据导数的值，调整参数：

θi←θi−η⋅∂L∂θi\theta_i \gets \theta_i - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial \theta_i}θi ←θi −η⋅∂θi ∂L

其中：

η\etaη 是学习率，控制每次调整的步长。
∂L∂θi\frac{\partial L}{\partial \theta_i}∂θi ∂L

是梯度，表示参数 θi\theta_iθi 的变化对损失的影响。

3. 链式求导：分层计算梯度

神经网络由多层组成，每一层的输出会成为下一层的输入。假设我们有一个三层神经网络，其计算过程可以表示为：

第一层输出：

z1=W1x+b1,a1=σ(z1)z_1 = W_1 x + b_1, \quad a_1 = \sigma(z_1)z1 =W1 x+b1 ,a1 =σ(z1 )

W1W_1W1 是第一层的权重矩阵，b1b_1b1 是偏置。

σ\sigmaσ 是激活函数，比如 ReLU 或 Sigmoid。

第二层输出：

z2=W2a1+b2,a2=σ(z2)z_2 = W_2 a_1 + b_2, \quad a_2 = \sigma(z_2)z2 =W2 a1 +b2 ,a2 =σ(z2 )

第三层输出：

z3=W3a2+b3,y^=σ(z3)z_3 = W_3 a_2 + b_3, \quad \hat{y} = \sigma(z_3)z3 =W3 a2 +b3 ,y^ =σ(z3 )

y^\hat{y}y^ 是模型的预测值。

损失函数

损失函数 LLL 是真实值 ytruey_{\text{true}}ytrue 和预测值 y^\hat{y}y^ 的差距：

L=Loss(y^,ytrue)L = \text{Loss}(\hat{y}, y_{\text{true}})L=Loss(y^ ,ytrue )

链式求导公式

为了更新参数 W1,W2,W3,b1,b2,b3W_1, W_2, W_3, b_1, b_2, b_3W1 ,W2 ,W3 ,b1 ,b2 ,b3 ，我们需要计算每个参数的梯度。利用链式求导法则：

∂L∂θ=∂L∂y^⋅∂y^∂z3⋅∂z3∂θ\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z_3} \cdot \frac{\partial z_3}{\partial \theta}∂θ∂L =∂y^ ∂L ⋅∂z3 ∂y^ ⋅∂θ∂z3

逐层展开：

第三层的梯度：

∂L∂W3=∂L∂y^⋅∂y^∂z3⋅∂z3∂W3\frac{\partial L}{\partial W_3} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z_3} \cdot \frac{\partial z_3}{\partial W_3}∂W3 ∂L =∂y^ ∂L ⋅∂z3 ∂y^ ⋅∂W3 ∂z3

第二层的梯度：

∂L∂W2=∂L∂y^⋅∂y^∂z3⋅∂z3∂a2⋅∂a2∂z2⋅∂z2∂W2\frac{\partial L}{\partial W_2} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z_3} \cdot \frac{\partial z_3}{\partial a_2} \cdot \frac{\partial a_2}{\partial z_2} \cdot \frac{\partial z_2}{\partial W_2}∂W2 ∂L =∂y^ ∂L ⋅∂z3 ∂y^ ⋅∂a2 ∂z3 ⋅∂z2 ∂a2 ⋅∂W2 ∂z2

第一层的梯度：

∂L∂W1=∂L∂y^⋅∂y^∂z3⋅∂z3∂a2⋅∂a2∂z2⋅∂z2∂a1⋅∂a1∂z1⋅∂z1∂W1\frac{\partial L}{\partial W_1} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z_3} \cdot \frac{\partial z_3}{\partial a_2} \cdot \frac{\partial a_2}{\partial z_2} \cdot \frac{\partial z_2}{\partial a_1} \cdot \frac{\partial a_1}{\partial z_1} \cdot \frac{\partial z_1}{\partial W_1}∂W1 ∂L =∂y^ ∂L ⋅∂z3 ∂y^ ⋅∂a2 ∂z3 ⋅∂z2 ∂a2 ⋅∂a1 ∂z2 ⋅∂z1 ∂a1 ⋅∂W1 ∂z1

反向传播

反向传播的核心是利用链式求导，从最后一层开始逐层向前计算梯度：

从损失函数计算输出层的误差：

δ3=∂L∂z3=∂L∂y^⋅∂y^∂z3\delta_3 = \frac{\partial L}{\partial z_3} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z_3}δ3 =∂z3 ∂L =∂y^ ∂L ⋅∂z3 ∂y^

传播到第二层：

δ2=∂L∂z2=δ3⋅∂z3∂a2⋅∂a2∂z2\delta_2 = \frac{\partial L}{\partial z_2} = \delta_3 \cdot \frac{\partial z_3}{\partial a_2} \cdot \frac{\partial a_2}{\partial z_2}δ2 =∂z2 ∂L =δ3 ⋅∂a2 ∂z3 ⋅∂z2 ∂a2

传播到第一层：

δ1=∂L∂z1=δ2⋅∂z2∂a1⋅∂a1∂z1\delta_1 = \frac{\partial L}{\partial z_1} = \delta_2 \cdot \frac{\partial z_2}{\partial a_1} \cdot \frac{\partial a_1}{\partial z_1}δ1 =∂z1 ∂L =δ2 ⋅∂a1 ∂z2 ⋅∂z1 ∂a1

最终我们可以更新每一层的参数，比如对于第一层的权重：

W1←W1−η⋅∂L∂W1W_1 \gets W_1 - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W_1}W1 ←W1 −η⋅∂W1 ∂L