旋转矩阵的具体推理：绕轴旋转详解
旋转矩阵的具体推理：绕轴旋转详解
旋转矩阵是计算机图形学、机器人学等领域中一个非常重要的概念，用于描述坐标系之间的旋转关系。本文将从基本知识出发，详细推导绕x轴、y轴和z轴旋转的旋转矩阵，帮助读者深入理解这一概念。
基本知识
对于一个坐标系的旋转变换，无论它怎么转，都可以直接拆分为绕3个轴旋转，即绕x轴旋转、绕y轴旋转、绕z轴旋转。（注意，以下公式均以顺时针为标准方向，使用的左手系）
对于绕x轴旋转，x轴本身是不会改变的，所以我们只需要关注yoz平面。同理，对于绕y轴旋转，我们只需要关注xoz平面；对于z轴旋转，我们只需要关注yoz平面。
旋转矩阵本身就是目标坐标系的坐标轴在参考坐标系中的投影矩阵。即：
$$
R_B^A = \begin{bmatrix}
\hat{X}B^A & \hat{Y}B^A & \hat{Z}B^A
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
r{11} & r{21} & r{31} \
r_{12} & r_{22} & r_{32} \
r_{13} & r_{23} & r_{33}
\end{bmatrix}
$$
其中，$R_B^A$的A表示参考坐标系{A}，B表示被描述的坐标系{B}。$\hat{X}_B^A$表示目标坐标系{B}的x轴在参考坐标系{A}的投影：
$$
\hat{X}B^A = \begin{bmatrix}
r{11} \
r_{12} \
r_{13}
\end{bmatrix}
$$
三个r分别对应着在参考坐标系的投影。
进一步，我们设置单位向量$\hat{X}_A, \hat{Y}_A, \hat{Z}_A, \hat{X}_B, \hat{Y}_B, \hat{Z}_B$，其中$\hat{X}_B$为表示目标坐标系{B}的x轴。那么如此一来，对于投影计算，我们可以直接使用两向量的点积来表示，如下：
$$
R_B^A = \begin{bmatrix}
r_{11} & r_{21} & r_{31} \
r_{12} & r_{22} & r_{32} \
r_{13} & r_{23} & r_{33}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\hat{X}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{X}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Y}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Z}_A
\end{bmatrix}
$$
例如$\hat{X}_B \cdot \hat{X}_A$表示目标坐标系{B}的x轴在参考坐标系{A}的x轴上的投影。
故有以下计算结果：
绕x轴旋转
$$
R(x, \theta) =
\begin{bmatrix}
\hat{X}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{X}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Y}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Z}_A
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & |\hat{Y}_B| \cdot |\hat{Y}_A| \cdot \cos\theta & |\hat{Z}_B| \cdot |\hat{Y}_A| \cdot \cos(\frac{\pi}{2} + \theta) \
0 & |\hat{Y}_B| \cdot |\hat{Z}_A| \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) & |\hat{Z}_B| \cdot |\hat{Z}_A| \cdot \cos\theta
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & c\theta & -s\theta \
0 & s\theta & c\theta
\end{bmatrix}
$$
这里x轴不变，所以$X_B$在$X_A$的投影为$|\hat{X}_B| \cdot |\hat{X}_A| \cdot \cos0 = 1$，其余都正交，为0。
同理，有其余的：
绕y轴旋转
$$
R(y, \theta) =
\begin{bmatrix}
\hat{X}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{X}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Y}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Z}_A
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
|\hat{X}_B| \cdot |\hat{X}_A| \cdot \cos\theta & 0 & |\hat{Z}_B| \cdot |\hat{X}_A| \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) \
0 & 1 & 0 \
|\hat{X}_B| \cdot |\hat{Z}_A| \cdot \cos(\frac{\pi}{2} + \theta) & 0 & |\hat{Z}_B| \cdot |\hat{Z}_A| \cdot \cos\theta
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
c\theta & 0 & s\theta \
0 & 1 & 0 \
-s\theta & 0 & c\theta
\end{bmatrix}
$$
绕z轴旋转
$$
R(z, \theta) =
\begin{bmatrix}
\hat{X}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{X}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{X}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Y}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Y}_A \
\hat{X}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Y}_B \cdot \hat{Z}_A & \hat{Z}_B \cdot \hat{Z}_A
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
|\hat{X}_B| \cdot |\hat{X}_A| \cdot \cos\theta & |\hat{Y}_B| \cdot |\hat{X}_A| \cdot \cos(\frac{\pi}{2} + \theta) & 0 \
|\hat{X}_B| \cdot |\hat{Y}_A| \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) & |\hat{Y}_B| \cdot |\hat{Y}_A| \cdot \cos\theta & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
c\theta & -s\theta & 0 \
s\theta & c\theta & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$