矩阵旋转的数学理解：以顺时针90度为例
矩阵旋转的数学理解：以顺时针90度为例
矩阵旋转是编程和数学中一个常见的问题，特别是在图像处理和数据变换中。本文将从数学的角度，通过图解的方式，详细解释矩阵顺时针旋转90度的原理和实现方法。
在网上寻找矩阵旋转的解释时，我发现大多数资料都是直接给出代码和实现规则，而缺乏深入的数学原理讲解。因此，我决定自己整理一下矩阵旋转的数学理解，特别是顺时针旋转90度的情况。
常见旋转矩阵的类型
矩阵旋转主要有以下几种类型：
- 方向：顺时针，逆时针。
- 角度：90°，180°
剩下的就是这些类型的组合了。
数学实现
顺时针旋转90度的原理
我们以顺时针旋转90度为例进行解释。首先，你可以通过剪一张正方形的纸来直观理解这个过程：将纸张沿着对角线翻转，然后再沿着中点线翻转，就可以得到顺时针旋转90度后的图形。
假设有一个4*4的矩阵，我们将其放置在数轴（i-j轴）中，其中每个点用i和j表示。我们选择一个点A(1,1)，旋转后的位置是M。
接下来，我们设矩阵中任一点为（i，j），并将矩阵大小扩大到n*n。然后，以V为新的坐标原点，建立一个新的坐标轴（x-y轴）。
在这个新的坐标轴中，原来的i和j可以用以下公式表示：
- x = i - (n+1)/2
- y = j - (n+1)/2
【注】：（(n + 1)/2，(n + 1)/2）就是i-j轴中V的坐标，这涉及高中数学中的坐标系平移知识。
翻转变换
接下来，我们在新的坐标轴中作一条直线y=x。假设M点的坐标为（x’ , y’），则M关于y=x对称的点的坐标就是（y’ , x’）。于是，翻转后M变成了（y’ , x’）。
扩展到所有点，就变成了：
- 对于一个具体的点，它的坐标变化为 (x , y) --> (y , x)。
然后，我们对图形关于y=0进行翻转：
这时，对于一个具体的点，它完成了( x , y ) --> ( y , x ) --> ( y , -x ) 的变化，在 x - y 轴中完成了翻转。
坐标转换回原系统
最后，我们将变换后的坐标转换回原来的i-j轴系统：
- 这时：( y , -x ) --> ( y + (n+1)/2 , -x + (n+1)/2 )
- 代入前面的两个表达式：x = i - (n+1)/2 和 y = j - (n+1)/2
- 最终得到：( i , j ) --> ( j , n + 1 - i )
这个推导过程不需要考虑n是奇数还是偶数，因为结果没有分式，非常简洁。
通过这个详细的数学推导和图解，我们可以清晰地理解矩阵顺时针旋转90度的原理和实现方法。