C语言实现牛顿迭代法（附带源码）

C语言实现牛顿迭代法（附带源码）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_61840987/article/details/144852580

牛顿迭代法（Newton's Method），也叫牛顿-拉夫森法，是一种求解实数函数零点的迭代方法。牛顿迭代法常用于非线性方程的数值求解。它通过不断迭代来逼近函数的根，即使得 f(x)=0。给定一个初始猜测 x_0，牛顿迭代法通过以下公式进行迭代：

其中，f(x_n) 是目标函数，f'(x_n) 是目标函数的导数。

实现思路

1. 目标函数：

• 我们需要定义目标函数 f(x)，以及该函数的导数 f′(x)，这两者是牛顿迭代法的核心。

2. 迭代过程：

• 选择一个初始猜测值 x_0 。
• 通过牛顿迭代公式更新猜测值，直到猜测值的变化小于某个阈值（即满足精度要求）。

3. 停止条件：

• 迭代次数达到设定的最大次数，或者当前估计值与上一次估计值的差值小于设定的精度阈值。

4. 注意事项：

• 如果 f'(x_n) 接近零，可能会导致数值不稳定，因此在实现时需要检查此情况。
• 对于不同的方程，初始猜测值的选择可能会影响收敛速度和结果的准确性。

C语言代码实现

以下是牛顿迭代法的C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义目标函数 f(x) 和导数 f'(x)
double f(double x) {
    return x * x - 2;  // 例：f(x) = x^2 - 2
}

double f_prime(double x) {
    return 2 * x;  // f'(x) = 2x
}

// 牛顿迭代法函数
double newton_method(double initial_guess, double tolerance, int max_iterations) {
    double x0 = initial_guess;
    double x1;
    int iteration = 0;
    while (iteration < max_iterations) {
        double fx = f(x0);
        double fpx = f_prime(x0);
        if (fpx == 0) {
            printf("Error: Derivative is zero, cannot continue iteration.\n");
            return x0;  // 避免除以零
        }
        // 更新迭代值
        x1 = x0 - fx / fpx;
        // 检查是否收敛
        if (fabs(x1 - x0) < tolerance) {
            printf("Converged after %d iterations.\n", iteration + 1);
            return x1;
        }
        // 更新x0并继续迭代
        x0 = x1;
        iteration++;
    }
    printf("Max iterations reached.\n");
    return x1;
}

int main() {
    double initial_guess, tolerance;
    int max_iterations;
    // 用户输入初始猜测值、精度和最大迭代次数
    printf("Enter the initial guess: ");
    scanf("%lf", &initial_guess);
    printf("Enter the tolerance: ");
    scanf("%lf", &tolerance);
    printf("Enter the maximum number of iterations: ");
    scanf("%d", &max_iterations);
    // 调用牛顿迭代法函数
    double root = newton_method(initial_guess, tolerance, max_iterations);
    // 输出结果
    printf("Approximate root: %lf\n", root);
    return 0;
}

代码解释

1. f 和 f_prime 函数：

• f：目标函数，这里我们假设 f(x) = x^2 - 2，即要求解 x^2 - 2 = 0 的根。
• f_prime：目标函数的导数，这里 f′(x)=2x。

2. newton_method 函数：

• 该函数接受初始猜测值、精度（容忍度）和最大迭代次数作为参数，并返回通过牛顿迭代法求得的近似根。
• 在每次迭代中，我们计算目标函数和导数的值，然后根据牛顿迭代公式更新当前的根估计值。
• 如果导数 f′(x) 等于零，则输出错误提示，避免除零错误。
• 如果两次迭代的结果差值小于容忍度，则认为已经收敛，返回结果。

3. main 函数：

• 获取用户输入的初始猜测、容忍度和最大迭代次数，调用 newton_method 函数计算根，并输出结果。

示例输入输出

示例输入 1

Enter the initial guess: 1.0
Enter the tolerance: 1e-6
Enter the maximum number of iterations: 100

示例输出 1

Converged after 5 iterations.
Approximate root: 1.414214

总结

本项目实现了一个基于牛顿迭代法的求根算法。通过设定初始猜测、容忍度和最大迭代次数，我们可以用牛顿法计算给定方程的近似根。我们选择了 f(x) = x^2 - 2 作为示例，这个方程的根是 根号二 ，牛顿法能够有效地逼近这个值。

在实际应用中，牛顿法由于其快速收敛的特点，广泛应用于数值分析、优化算法等领域。然而，它也有一些局限性，如可能收敛到局部极值点或不收敛，因此在使用时需要谨慎选择初始值，并确保导数不为零。