电磁学中的数学
电磁学中的数学
19世纪的一些科学家逐渐意识到，一些方程可用于揭开电学和磁学的神秘面纱。他们惊叹于偏微分方程的适用范围如此之广。
“electricity”（电）一词来源于拉丁文“electrum”，后者的意思是琥珀。19世纪以前，电荷指的是静电，用一块琥珀在丝绸上摩擦，人们就可以得到静电。这种神秘的自然现象引起了18世纪最伟大的科学家们极大的研究兴趣。其中最有名的人物莫过于来自美国费城的本杰明·富兰克林（Benjamin Franklin）。凭借着雷电、莱顿瓶（或采用现代的说法——电容器）和电动轮（原始的电动机）等诸多实验，富兰克林获得了享誉世界的名声，并得以进入法国社会。美国独立战争期间，富兰克林凭借其外交影响力，使美国获得了法国的支持。
富兰克林率先意识到，静电是带电粒子在某种力的作用下发生的流动；这种力类似于重力，但不同的是，它将对粒子产生排斥力，而非吸引力。等到19世纪，在丹尼尔·伯努利、亨利·卡文迪什（Henry Cavendish）、查尔斯·奥古斯丁·库仑（Charles Augustin Coulomb），以及卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）的努力下，人们逐渐认识到静电力可由静电势解释，后者满足与万有引力完全相同的偏微分方程，只是这里的ρ表示电荷密度（并随着符号的改变而改变）。
人们在19世纪早期同样见证了电流的发现：闭合的电路上产生稳定的电子流。1820年，丹麦科学家汉斯·克利斯蒂安·奥斯特（Hans Christian Oersted，1777—1851）注意到：若将带电的闭合电路靠近指南针，将会影响指针的方向。电与磁之间存在联系的只言片语迅速在欧洲传播开来。同年晚些时候，法国科学家让–巴普蒂斯特·毕奥（Jean-Baptiste Biot，1774—1862）与菲力克斯·萨伐尔（Félix Savart，1791—1841）一同发现了被称作安培定律的偏微分方程，由此建立了磁场和产生该磁场的电流之间的联系。
电流将产生磁场。1831年，迈克尔·法拉第（Michael Faraday，1791—1867）同样注意到，移动的磁铁可以产生电流。事实上，这也是我们今天使用快速旋转的大型磁铁——发电机——进行发电的工作原理。控制这种相互作用的偏微分方程引入了第四个变量——时间。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将安培定律推广至随时间变化的电场情形，并实现了这些方程的统一。1865年，麦克斯韦在《皇家学会哲学会刊》（Philosophical Transactions of the Royal Society）上发表了《电磁场的动力学原理》（“A Dynamical Theory of the Electro-Magnetic Field”），这是其发表的最重要的科研论文之一。在这篇论文中，针对不断变化的电场和磁场，麦克斯韦提出了可用于控制二者相互作用的方程；他还意识到，若采用电磁势能的语言表述，所有的讨论都可被简化。
与相对简单的重力势相比较，电磁势称得上是一个奇怪的想法。重力势是3个自变量到1个取值的函数，其中3个自变量用以确定某点的位置，而1个取值将给出这一位置的重力势。电磁势是4个自变量的函数，其中3个自变量用以确定位置，另外1个自变量为时间；电磁势将有4个相互独立、无具体意义的函数值，每个函数值都依赖于前面的4个自变量。势能是一个难以捉摸的概念，我们既不能看到也不能触摸到它，同样也不能产生直接的体验，它仅仅是一个便于计算的虚构数学概念。在这些方面，电磁势则有过之无不及：它的4个分量仅仅是为数学计算提供便利的中转站。在这个意义下，电磁势与复数有相近之处。人们在很长一段时间内都将复数视作假想的数，它们的存在，仅仅是为求解3次、4次多项式方程提供便利。
尽管如此，麦克斯韦依旧发现了一些不一样的内容。如果将电磁势函数值的四个分量分别表示成⟨A₁, A₂, A₃, A₄⟩，它们将满足如下的偏微分方程
考虑电场和磁场相互作用的介质，上式中的常数c可由该介质的电学、磁学性质决定。
令人惊奇的是，方程（2.15）是一个波动方程，这是达朗贝尔方程，即决定弦振动方程的等式（2.13），在三维情形的推广。这个证据足以强有力地表明：电磁势的每一个分量都在振动；在三维空间中，它以速度c向各个方向传播。
测定了空气的电学、磁学性质后，麦克斯韦发现这种波传播的速度为光速，实验误差在可容许的范围内。据此，麦克斯韦得出了一个著名的结论：电磁势是一种客观存在，它产生于变化的电磁场，并在三维空间以光速向外传播。
对于麦克斯韦的断言，人们似乎并不认同；然而，一些科学家认为，这或许就是四维势场的真实面目。这的确是一个有趣的想法。如果它确实存在，人们可以设计不存在物理连接的发射器和接收器：让发射器在电磁势场中产生一个干扰，这个干扰将以光速传播，并被远处的接收器监测到。1887年，海因里希·鲁道夫·赫兹（Heinrich Rudolf Hertz，1857—1894）成功地监测到电磁势的变化。不出10年，古列尔莫·马可尼（Guglielmo Marconi，1874—1937）与亚历山大·斯捷潘诺维奇·波波夫（Alexander S. Popov，1859—1906）都成功地将莫尔斯码转换成电磁势，并在几千米之外完成了信息的接收和翻译。
时至今日，人们将电磁势场中的波称为电磁波。基于它们，无线传输才得以实现。电磁波是无形的，若不是借助数学模型预言了它们的存在，人们不可能发现电磁波，更谈不上利用它们。
在20世纪，人们见识了偏微分方程在建模方面的强大威力，并由此预言了一些难以想象的现象，包括黑洞、引力波，以及质量和能量可以通过关系式E = mc²相互转化，等等。这些借助微分方程建立的模型几乎构成了全部现代科技的基础。
若仅仅借助标准函数，人们很难完成这类微分方程的求解。始于牛顿，加速于18 ∼ 19世纪，科学家们逐渐认识到，若试图求解这类方程，人们需要借助复杂的无穷级数。到19世纪，理解这种复杂的求和在大部分数学活动中占据了上风。