二维高斯函数的两种形式
二维高斯函数的两种形式
第一种形式很常见
多元正态分布
多元正态分布（Multivariate Normal Distribution），也称为多变量正态分布或多维正态分布，是统计学中一种重要的概率分布，用于描述多个随机变量的联合分布。
假设有n个随机变量$X_1, X_2, \ldots, X_n$，它们服从多元正态分布，则这n个随机变量的联合概率密度函数（PDF）可以表示为：
$$
f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n |\Sigma|}} \exp\left(-\frac{1}{2} (x - \mu)^\top \Sigma^{-1} (x - \mu)\right)
$$
其中：
- $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^\top$是一个$n \times 1$的列向量，表示n个随机变量的观测值。
- $\mu = (\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n)^\top$是一个$n \times 1$的列向量，表示n个随机变量的均值。
- $\Sigma$是一个$n \times n$的对称正定矩阵，称为协方差矩阵，其元素$\sigma_{ij}$表示$X_i$和$X_j$之间的协方差。
- $|\Sigma|$表示协方差矩阵$\Sigma$的行列式。
- $\Sigma^{-1}$是协方差矩阵$\Sigma$的逆矩阵。
- $(x - \mu)^\top$是$(x - \mu)$的转置。
二维高斯函数（也称为二维正态分布函数）是统计学和物理学中常用的一个函数，用于描述二维空间中的随机变量的分布。这里我们讨论两种形式的二维高斯函数，其中第二种形式通过几何变换（如旋转和平移）从第一种形式推导出来。
二元正态分布
在二元正态分布中，如果已知两个变量X和Y的相关系数$\rho$以及它们的标准差$\sigma_X$和$\sigma_Y$，那么协方差矩阵$\Sigma$可以表示为：
$$
\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \ \rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}
$$
这里，$\sigma_X^2$和$\sigma_Y^2$分别是X和Y的方差，而$\rho \sigma_X \sigma_Y$是它们的协方差。
接下来，需要计算这个协方差矩阵的逆矩阵$\Sigma^{-1}$。首先，计算协方差矩阵的行列式$|\Sigma|$：
$$
|\Sigma| = \sigma_X^2 \sigma_Y^2 - (\rho \sigma_X \sigma_Y)^2 = \sigma_X^2 \sigma_Y^2 (1 - \rho^2)
$$
然后，利用行列式的值和协方差矩阵的元素来构造逆矩阵。逆矩阵$\Sigma^{-1}$的元素可以表示为：
$$
\Sigma^{-1} = \frac{1}{|\Sigma|} \begin{pmatrix} \sigma_Y^2 & -\rho \sigma_X \sigma_Y \ -\rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_X^2 \end{pmatrix}
$$
将行列式的值代入上式，得到：
$$
\Sigma^{-1} = \frac{1}{\sigma_X^2 \sigma_Y^2 (1 - \rho^2)} \begin{pmatrix} \sigma_Y^2 & -\rho \sigma_X \sigma_Y \ -\rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_X^2 \end{pmatrix}
$$
进一步化简，得到：
$$
\Sigma^{-1} = \frac{1}{1 - \rho^2} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sigma_X^2} & -\frac{\rho}{\sigma_X \sigma_Y} \ -\frac{\rho}{\sigma_X \sigma_Y} & \frac{1}{\sigma_Y^2} \end{pmatrix}
$$
这个逆矩阵代入多元正态分布就是第一种形式。
第一种形式：标准二维高斯函数
标准二维高斯函数（也称为二维正态分布的概率密度函数）的表达式为：
$$
f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\right)\left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right) + \left(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}\right)^2\right]\right)
$$
其中，
- $\mu_x$和$\mu_y$分别是x和y的均值（位置参数）。
- $\sigma_x$和$\sigma_y$分别是x和y的标准差（尺度参数）。
- $\rho$是x和y的相关系数（形状参数）。
第二种出现在Gabor滤波器中，第二种又有多种变形，认清它是高斯函数。
Gabor函数
Gabor滤波器是一种基于Gabor函数的特定频率和方向选择性滤波器，是一种用于图像纹理分析和特征提取的线性滤波器，由Dennis Gabor于1946年提出，广泛应用于图像处理和计算机视觉领域。在空间域中，一个二维Gabor滤波器可以看作是一个正弦平面波和高斯核函数的乘积。
$$
g(x, y; \lambda, \theta, \psi, \sigma, \gamma) = \exp\left(-\frac{x'^2 + \gamma^2 y'^2}{2\sigma^2}\right) \cos\left(2\pi\frac{x'}{\lambda} + \psi\right)
$$
其中，
- $(x, y)$是图像中像素的坐标。
- $\lambda$是正弦函数的波长。
- $\theta$是Gabor核函数的方向，表示Gabor函数平行条纹的方向。
- $\psi$是相位偏移，通常设置为0或$\frac{\pi}{2}$。
- $\sigma$是高斯函数的标准差，决定了Gabor滤波器的带宽。
- $\gamma$是空间纵横比，决定了Gabor滤波器的椭圆率。当$\gamma = 1$时，滤波器形状是圆的；当$\gamma < 1$时，滤波器形状沿平行于$\theta$的方向拉长。
$x'$和$y'$是通过旋转坐标轴得到的坐标，它们与原始坐标$(x, y)$的关系为：
$$
\begin{pmatrix} x' \ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}
$$
这个旋转矩阵用于将Gabor滤波器的方向调整到$\theta$指定的角度。
Gabor滤波器的一个重要特性是它能够捕捉图像中特定频率和方向的信息。通过调整$\lambda$、$\theta$、$\sigma$和$\gamma$等参数，可以生成一系列具有不同频率和方向选择性的Gabor滤波器，从而用于图像的纹理分析和特征提取。
在实际应用中，通常会使用多个Gabor滤波器（具有不同的参数组合）对图像进行滤波，然后分析滤波后的图像以提取有用的特征信息。
第二种形式高斯函数
1
$$
f(x, y) =A\exp\left(-\frac{x'^2 + \gamma^2 y'^2}{2\sigma^2}\right)
$$
是高斯函数，可由标准正态分布通过几何变换推出。
2
也可以写为
$$
f(x, y) =A{\rm e} ^{-{ \tfrac {1}{2} \left( \tfrac { \acute{x} ^{2} } {\sigma_x ^{2}} + \tfrac { \acute{y} ^{2} } { \sigma_y ^{2}} \right) }}
$$
$\sigma_x$和$\sigma_y$为x和y方向上高斯函数的标准差，$\gamma = \sigma_x /\sigma_y$表示高斯函数的椭圆率。
滤波器在x方向上的“宽度”可以由标准差$\sigma_x$控制，而在y方向上的“宽度”可以由另一个标准差$\sigma_y$控制。但在实际应用中，我们并不直接设置这两个标准差，而是通过设置一个主标准差$\sigma$和一个空间纵横比$\gamma$来间接控制。
空间纵横比$\gamma$定义了滤波器在x和y方向上的相对“宽度”。当$\gamma = 1$时，滤波器是圆形的；当$\gamma < 1$时，滤波器在y方向上的“宽度”比x方向小，形成椭圆形，且椭圆的长轴与x轴平行；当$\gamma > 1$时，情况相反。
在Gabor滤波器的标准定义中，通常只关注一个标准差$\sigma$和一个空间纵横比$\gamma$。这两个参数共同决定了滤波器在不同方向上的形状和带宽。
3
将$f(x, y)$写成关于x和y的函数，这是一个指数项有交叉项的形式。
$$
z = A e^{-\left[a(x - \mu_x)^2 + 2b(x - \mu_x)(y - \mu_y) + c(y - \mu_y)^2\right]}
$$
其中，
- $a = \frac{\cos^2\theta}{2\delta_x^2} + \frac{\sin^2\theta}{2\delta_y^2}$
- $b = -\frac{\sin(2\theta)}{4\delta_x^2} + \frac{\sin(2\theta)}{4\delta_y^2}$
- $c = \frac{\sin^2\theta}{2\delta_x^2} + \frac{\cos^2\theta}{2\delta_y^2}$