梅涅劳斯定理教学（梅涅劳斯定理）
梅涅劳斯定理教学（梅涅劳斯定理）
梅涅劳斯定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么
$$(\frac{AF}{FB})\times(\frac{BD}{DC})\times(\frac{CE}{EA})=1$$
证明：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则
$$\frac{AF}{FB}=\frac{AG}{BD} , \frac{BD}{DC}=\frac{BD}{DC} , \frac{CE}{EA}=\frac{DC}{AG}$$
三式相乘得：
$$\frac{AF}{FB}\times\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}=\frac{AG}{BD}\times\frac{BD}{DC}\times\frac{DC}{AG}=1$$
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足
$$(\frac{AF}{FB})\times(\frac{BD}{DC})\times(\frac{CE}{EA})=1$$
则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
为了帮助大家记忆这个公式，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种：
方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。按照这个方案，可以写出关系式：
$$(\frac{AF}{FB})\times(\frac{BD}{DC})\times(\frac{CE}{EA})=1$$
从A点出发的旅游方案还有：
方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
$$(\frac{AB}{BF})\times(\frac{FD}{DE})\times(\frac{EC}{CA})=1$$
从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
$$(\frac{AC}{CE})\times(\frac{ED}{DF})\times(\frac{FB}{BA})=1$$
从A出发还有最后一个方案：
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
$$(\frac{AE}{EC})\times(\frac{CD}{DB})\times(\frac{BF}{FA})=1$$
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。
通过这个旅游类比，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住。