极坐标与直角坐标的互化 公式是怎样的
极坐标与直角坐标的互化 公式是怎样的
极坐标与直角坐标的互化是高中数学中的一个重要知识点。下面将详细介绍这两种坐标系的互化公式及其定义。
极坐标与直角坐标的互化公式
极坐标与直角坐标的互化公式如下：
极坐标 ((\rho, \theta)) 转化为直角坐标 ((x, y))：
[
x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta
]直角坐标 ((x, y)) 转化为极坐标 ((\rho, \theta))：
[
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
]
其中，(\rho) 为极径，(\theta) 为极角。需要注意的是，(\arctan) 函数的值域是 ((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))，(\arctan\left(\frac{y}{x}\right)) 的作用是求正切值为 (\frac{y}{x}) 对应的角度。例如，(\arctan(1) = \frac{\pi}{4})。
直角坐标系和极坐标系的转化解析
极坐标系坐标转换为平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）下坐标：
极坐标系中的两个坐标 (\rho) 和 (\theta) 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值：
[
x = \rho \cos \theta
]
[
y = \rho \sin \theta
]
平面直角坐标系坐标转换为极坐标系下坐标：
由上述二公式，可得到从直角坐标系中 (x) 和 (y) 两坐标如何计算出极坐标下的坐标：
[
\theta = \arctan \left(\frac{y}{x}\right) \quad (x \neq 0)
]
在 (x = 0) 的情况下：
- 若 (y) 为正数，则 (\theta = 90^\circ) ((\frac{\pi}{2}) 弧度)
- 若 (y) 为负，则 (\theta = 270^\circ) ((3\frac{\pi}{2}) 弧度)
直角坐标系的定义
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做 (x) 轴（(x)-axis）或横轴，垂直的数轴叫做 (y) 轴（(y)-axis）或纵轴，(x) 轴 (y) 轴统称为坐标轴，它们的公共原点 (O) 称为直角坐标系的原点（origin），以点 (O) 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系 (xOy)。
极坐标系的定义
极坐标系是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点 (O)，称为极点。从 (O) 出发引一条射线 (Ox)，称为极轴。再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点 (P) 的位置就可以用线段 (OP) 的长度 (\rho) 以及从 (Ox) 到 (OP) 的角度 (\theta) 来确定，有序数对 ((\rho, \theta)) 就称为 (P) 点的极坐标，记为 (P(\rho, \theta))；(\rho) 称为 (P) 点的极径，(\theta) 称为 (P) 点的极角。