【深度学习-基础知识】梯度下降算法（2分钟学会）
【深度学习-基础知识】梯度下降算法（2分钟学会）
梯度下降算法是深度学习和机器学习中最基础也是最重要的优化算法之一。本文将从梯度的定义出发，深入浅出地讲解梯度下降算法的数学原理和具体实现步骤，帮助读者在2分钟内掌握这一核心概念。
1. 什么是梯度
梯度（Gradient）是多元函数导数的一种推广形式，它描述了多变量函数在某一点处变化率最大的方向及其大小。梯度通常应用于标量场（即输出为单一数值的函数），并且是一个向量场，其中每个点的方向指向该点处函数值增加最快的方向，其长度表示这个最大增长率的值。
梯度的标准符号是希腊字母“nabla”，写作：∇。对于一个定义在Rn上的标量函数f(x1,x2,...,xn)，其在某一点的梯度被记作：
∇f=(∂f∂x1,∂f∂x2,...,∂f∂xn)
这里，∂f∂xi表示函数f关于变量xi的偏导数。因此，梯度本质上是由函数关于所有输入变量的偏导数组成的向量。
在不同的文献或教材中，梯度也可能会用grad(f)来表示，但∇f是最常用的表示方法。
2. 梯度下降算法的数学原理
梯度下降算法的目标是找到参数，使得目标函数值（损失函数）最小化。在数学上，目标函数的最小值通常出现在梯度（斜率为0）的反方向。因此，梯度下降算法的基本思想是：从一个初始点开始，沿着梯度的反方向逐步迭代，直到达到函数的最小值。
3. 梯度下降算法基本步骤
步骤 1: 初始化参数
假设我们有一个简单的线性模型y=wx+b，其中w是权重，b是偏置项。首先，我们需要初始化这些参数，通常随机选择初始值。例如，设w0=0.5和b0=0。
步骤 2: 定义损失函数
为了评估模型的好坏，我们需要定义一个损失函数。对于线性回归问题，常用的损失函数是均方误差（MSE），定义为：
L(w,b)=1n∑i=1n(yi−(wxi+b))2
其中，n是样本数量，yi是第i个样本的真实值，wxi+b是模型对第i个样本的预测值。
步骤 3: 计算梯度
接下来，我们需要计算损失函数关于权重w和偏置b的梯度。这可以通过求偏导数来实现：
∂L∂w=−2n∑i=1nxi(yi−(wxi+b))
∂L∂b=−2n∑i=1n(yi−(wxi+b))
步骤 4: 更新参数
根据计算得到的梯度，我们可以更新权重w和偏置b的值。更新公式如下：
w:=w−α∂L∂w
b:=b−α∂L∂b
其中，α是学习率，它决定了每次迭代时参数更新的步长。学习率的选择对算法的收敛速度和最终结果都有重要影响。
步骤 5: 迭代优化
重复执行步骤3和步骤4，直到满足停止条件。停止条件可以是达到预设的最大迭代次数，或者梯度的模长小于某个阈值。
通过上述步骤，梯度下降算法能够逐步优化模型参数，使得损失函数的值不断减小，最终达到最小值或局部最小值。
总结来说，梯度下降算法的核心思想是沿着梯度的反方向逐步迭代，以最小化目标函数。虽然这个过程可能需要多次迭代才能收敛，但通过合理设置学习率和停止条件，梯度下降算法能够有效地优化模型参数，从而提高模型的预测性能。