第18讲 用锐角三角函数解决问题（3大考点&题型）

第18讲 用锐角三角函数解决问题（3大考点&题型）

本讲主要讲解锐角三角函数的应用问题，通过3大考点和题型的详细解析，帮助学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。

考点一：测量高度问题

知识点讲解

在测量高度问题中，通常会涉及到仰角和俯角的概念。仰角是指从水平线向上看的角度，俯角则是从水平线向下看的角度。通过建立直角三角形模型，可以利用锐角三角函数（正弦、余弦、正切）来求解未知的高度或距离。

例题分析

例1： 如图所示，小明站在距离一座大楼50米的地方，测得大楼顶部的仰角为30°。求大楼的高度。

解： 设大楼的高度为h米。根据题意，可以建立直角三角形模型，其中∠A=30°，AB=50米。利用正切函数，有：
[ \tan 30^\circ = \frac{h}{50} ]
[ h = 50 \times \tan 30^\circ \approx 28.87 \text{米} ]

练习题

1. 小华站在距离一座塔楼60米的地方，测得塔楼顶部的仰角为45°。求塔楼的高度。
2. 一座电视塔高100米，小明站在距离电视塔80米的地方，求此时的仰角。

考点二：测量距离问题

知识点讲解

测量距离问题通常涉及到两个或多个观测点，通过建立多个直角三角形模型，利用锐角三角函数来求解未知的距离。

例题分析

例2： 如图所示，A、B两点之间的距离未知，小明在C点测得∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=100米。求AB的距离。

解： 根据题意，可以建立直角三角形模型，其中∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=100米。利用正弦函数，有：
[ \sin 30^\circ = \frac{AC}{BC} ]
[ AC = BC \times \sin 30^\circ = 100 \times \frac{1}{2} = 50 \text{米} ]

再利用勾股定理求AB的距离：
[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{50^2 + 100^2} \approx 111.8 \text{米} ]

练习题

1. A、B两点之间的距离未知，小华在C点测得∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=120米。求AB的距离。
2. 一座大桥长200米，小明站在距离大桥一端150米的地方，测得大桥另一端的仰角为60°。求小明与大桥另一端的距离。

考点三：测量角度问题

知识点讲解

测量角度问题通常涉及到已知某些距离或高度，需要求解某个角度。通过建立直角三角形模型，利用锐角三角函数的逆运算来求解未知的角度。

例题分析

例3： 如图所示，一座山的高度为150米，小明站在距离山脚100米的地方。求此时的仰角。

解： 根据题意，可以建立直角三角形模型，其中山的高度为150米，小明与山脚的距离为100米。利用正切函数的逆运算，有：
[ \tan \theta = \frac{150}{100} = 1.5 ]
[ \theta = \arctan 1.5 \approx 56.31^\circ ]

练习题

1. 一座塔的高度为120米，小华站在距离塔底80米的地方。求此时的仰角。
2. 一座桥的高度为50米，小明站在距离桥底60米的地方。求此时的仰角。

通过以上三个考点的学习和练习，相信同学们能够熟练掌握锐角三角函数在实际问题中的应用。希望同学们能够认真完成练习题，巩固所学知识。