高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法

高等数学(二)的考试内容共两个部分，第一部分为高等数学，分值约占92%，是主要部分；第二部分为概率论初步，分值约占8%。今天，就给大家带来高等数学中不等式的证明方法。

常用放缩技巧

1. 常用在多项式中“舍掉一些正(负)项”而使不等式各项之和变小(大)，或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大(较小)因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个(或多个)中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：

1. 若

3. 若则

6. 或

8. 你必须牢记基本公式，均值不等式以及课后的一些重要推倒式。证明主要就是要将不等式的一边变形成为你所熟知的公式类型，也要牢记分析法，综合法等解题思路，一般不等式证明用分析法就好，思路比较简单，试于为灵活应用公式打下基础。

比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，具体有"作差"比较和"作商"比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)

例1 已知a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2

分析：由题目观察知用"作差"比较，然后提取公因式，结合a+b≥0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵(a3+b3)?(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)

证明：
=(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 设a、b∈R+，且a≠b，求证：aabb>abba

分析：由求证的不等式可知，a、b具有轮换对称性，因此可在设a>b>0的前提下用作商比较法，作商后同"1"比较大小，从而达到证明目的，步骤是：10作商20商形整理30判断为与1的大小

证明：由a、b的对称性，不妨解a>b>0则

aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b

∵a?b?0，∴ab?1，a-b?0

∴(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba>1，又abba>0∴aabb>abba

练习1 已知a、b∈R+，n∈N，求证(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)

函数图像分析法

1. 解：设函数f(x)=e^x，g(x)=x+1.

对于函数f(x)=e^x,为自然指数函数，定义域为全体实数，函数在定义域上为单调增函数，值域为：[0,+∞)，图像示意图如下：

2. 对于函数g(x)=x+1,为一次函数，定义域和值域均为全体实数，在定义域范围内，函数为增函数，图像示意图如下

3.从图像可，函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方，二者有一个交点为(0,1),所以有：

f(x)>=g(x)

即：e^x>=x+1，成立。

极限与微积分

首先是极限的定义，很少用但要知道，也可以用来求极限。两个重要法则，夹逼和单调有界定理，夹逼定理要正确选择“极限”是高等数学中一个极为重要的基本概念，无论是导数，还是定积分、广义积分、曲线的渐近线等概念无不建立在极限的基础上，极限是研究微积分的重要工具。但极限的概念与理论只是高等数学的基础知识，并不是复习的重点，复习的重点是高等数学的核心内容——微分学与积分学，特别是一元函数的微积分，对微分与积分的基本概念、基本理论、基本运算和基本应用要多下功夫。

考生应深刻理解高等数学中的基本概念，特别是导数与微分的定义、原函数与不定积分的定义、定积分的定义等概念。要熟练掌握基本方法和基本技能，特别是函数极限的计算，函数的导数与微分的计算，不定积分与定积分的计算，这是高等数学部分运算与应用的基础。复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本初等函数导数公式，不定积分基本公式。要熟练掌握导数的四则运算法则及复合函数求导法则。要熟练掌握计算不定积分与定积分的基本方法，特别是凑微分法与分部积分法。考题中会有相当数量的关于导数与微分、不定积分与定积分的基本计算题，试题并不难，考生只要达到上述要求，都能正确解答这些试题。