自动控制原理——离散系统
自动控制原理——离散系统
离散系统是自动控制领域中的一个重要概念，它主要研究离散信号在控制系统中的传输和处理。离散系统可以分为采样控制系统和数字控制系统两大类，它们在现代工业控制、计算机控制等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍离散系统的相关理论和分析方法。
离散（时间）系统
采样控制系统或脉冲控制系统
离散信号是脉冲序列形式，一般是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值。若在有规律的间隔上取值，称为周期采样；反之，若间隔是时变或随机的，称为非周期采样。
- 采样过程：把连续信号转变为脉冲序列的过程
- 采样器（采样开关）：实现采样的装置
- 采样周期T
- 采样频率fs=1/T
- 采样角频率ws=2πfs=2π/T
由于采样持续时间τ远小于采样周期T，所以采样器的输出可以近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e*(t)。
信号复现
把脉冲序列转变为连续信号的过程。保持器是实现复现过程的装置。
典型结构图
- 开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外
- 闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内
- 线性采样系统：采样开关和系统其余部分的传递函数都具有线性特性
数字控制系统或计算机控制系统
离散信号是数字序列形式，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统，包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。
- A/D转换器：把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置，包括采样过程和量化过程
- D/A转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置，包括解码过程和复现过程
特点
- 数字计算机构成的数字校正装置效果好，控制灵活
- 采样信号传递可以抑制噪声，提高抗干扰能力
- 允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度
- 可以一台计算机分时控制多个系统，经济性好
- 对于具有传输延迟的控制系统，引入采样方式可以稳定系统
Z变换（采样拉氏变换）
方法
- 级数求和法
- 部分分式法
性质
- 线性定理
- 实数位移定理
- 复数位移定理
- 终值定理
- 卷积定理
Z反变换
- 部分分式法
- 幂级数法
- 反演积分法
特殊规律
- Z变换与原连续时间函数并非一一对应，而只是与采样序列相对应
- 收敛区间
离散系统的数学模型
线性离散系统
满足叠加原理
线性定常离散系统
输入与输出的关系不随时间而改变的线性离散系统
线性常系数差分方程
解法：
- 经典法
- 迭代法
- z变换法
脉冲传递函数
- 等于系统加权序列的z变换
- 和差分方程的关系
两个重要性质
- 串联环节之间有采样开关时
- 串联环节之间无采样开关时
- 有零阶保持器时
闭环离散系统
修正z变换
s域到z域的映射
离散系统稳定
在有界输入序列作用下，输出序列也是有界的
时域中稳定的充分必要条件
所有特征根的模|ai|＜1
z域中稳定的充分必要条件
的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者特征根的模均小于1，即|zi|＜1
离散系统不存在临界稳定情况，若|ai|=1或|zi|=1，系统属于不稳定
稳定性判据
w变换和劳斯稳定判据
令z=(w+1)/(w-1)，带入D(z)得到w域特征方程，列出劳斯表，根据劳斯稳定判据判断稳定性
朱利稳定判据
构造(2n-3)行、(n+1)列的朱利阵列
采样周期越长，开环增益越大，离散系统越不稳定
稳态误差
利用z变换的终值定理方法
求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳态误差
从系统误差传递函数出发的动态误差系数法
求取系统动态误差的稳态分量
离散系统的型别和静态误差系数
动态性能分析（用z变换）
时域法
求单位阶跃输入下输出的z变换函数，再通过z反变换求c*(t)，即可分析其动态性能
根轨迹法
频域法
采样器和保持器对离散系统的动态性能的影响
采样器
使峰值时间和调节时间减小，超调量增大，降低系统的稳定程度；但是在具有大延迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度
零阶保持器（相角滞后）
使峰值时间和调节时间加长，超调量和振荡次数增加，降低了系统的稳定程度
闭环极点与动态响应的关系
单位阶跃输入下，
实轴上的闭环单极点
- pk>0，
- pk>1，ck(nT)是按指数规律发散的脉冲序列
- pk=1，ck(nT)=ck，是等幅脉冲序列
- 0<pk<1，ck(nT)是按指数规律衰减的脉冲序列
- pk<0，
- pk<-1，ck(nT)为交替变号的发散脉冲序列
- pk=-1，ck(nT)为交替变号的等幅脉冲序列
- -1<pk<0，ck(nT)为交替变号的衰减脉冲序列
闭环共轭复数极点
- |pk|＞1，动态响应为振荡发散脉冲序列
- |pk|=1，动态响应为等幅振荡脉冲序列
- |pk|＜1，动态响应为振荡收敛脉冲序列，且|pk|越接近原点，振荡收敛得越快
当所有极点都均于原点时
称为具有无穷大稳定度的离散系统
利用综合除法，得
当m=n-1时，有d0=0；当m=n-2时，有d0=d1=0；其余以此以此类推
离散系统的数字校正
最少拍系统
若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)
最少拍系统的调节时间，只与所选择的闭环脉冲传递函数iФ(z)的形式有关，而与典型输入信号的形式无关。
以按照单位斜坡输入设计的二拍系统为例
- 快速性：各种典型输入作用下，动态过程均为二拍
- 准确性：单位阶跃和单位斜坡输入下，采样时刻均无稳态误差，但单位加速度输入下，采样时刻稳态误差为T
- 动态性能：单位斜坡输入下的响应性能较好，但单位阶跃输入下的响应性能较差，有100％的超调量
- 平稳性：各种典型输入作用下，非采样时刻均存在纹波
无纹波最少拍系统
在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在纹波
当要求最少拍系统无纹波时，闭环脉冲传递函数iФ(z)除应满足最少拍要求的形式外，其附加条件是Ф(z)还必须包含G(z)的全部零点，而不论这些零点在z平面的何处，且Ф(z)包含G(z)在单位圆内的零点数，就是无纹波最少拍系统比有纹波最少拍系统所增加的拍数
PID数字控制器
传递函数
z域传递函数
令x(kT)=x(k)，得差分方程
常用计算方法
- 根据定义求E(z)
- 根据E(s)求e(t)——拉普拉斯反变换
- 根据e(t)求E*(s)——采样拉氏变换
- 根据E*(s)求E(z)——z变换
- 根据E(z)求e*(t)——z反变换
- 部分分式法
- 幂级数法
- 反演积分法
求终值ess(∞)
由终值定理可得根据差分方程和初始调节求输出序列
代入初值一步一步求根据z变换法求解差分方程
- 对差分方程左右两端取z变换，利用z变换的实数位移性质，得到以z为变量的代数方程
- 求解C(z)
- 取反变换得到c*(t)
- 根据结构图求开环脉冲传递函数G(z)
- 串联环节之间有采样开关时，
- 串联环节之间无采样开关时，
- G1(z)G2(z)≠G1G2(z)
- 有零阶保持器时，
求闭环离散系统的脉冲传递函数Ф(z)
判断离散系统的稳定性
- 求闭环脉冲传递函数iФ(z)
- 求特征方程D(z)
- 求特征值
- 若全部|zi|＜1，则系统稳定；反之，则不稳定
或使用稳定性判据 - w变换和劳斯稳定判据：令z=(w+1)/(w-1)，带入D(z)得到w域特征方程，列出劳斯表，根据劳斯稳定判据判断稳定性
- 朱利稳定判据
- 构造(2n-3)行、(n+1)列的朱利阵列
求静态误差系数
最少拍系统设计
m拍系统：无纹波最少拍系统设计
- 求G(z)的全部零点和单位圆上的极点，以及有几个延迟因子，延迟因子数至少q-1，q是输入的阶数
- 设计m拍系统补偿单位圆上的极点；若有零点，则需要增加拍数使Ф(z)包含G(z)的全部零点，增加的拍数G(z)在单位圆内的零点数
- 验算E2(z)，判断输出序列从第几拍开始无纹波
- 数字控制器设计
- 求连续控制器
- 令数字控制器
其中