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非对称加密算法——Paillier加密算法

创作时间:

作者:

@小白创作中心

非对称加密算法——Paillier加密算法

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/sinat_26368147/article/details/145414261

Paillier加密算法是一种基于同态加密的非对称加密算法，具有加法同态性和随机性等特点。本文将详细介绍Paillier算法的理论基础、实现步骤以及Java代码示例，帮助读者深入理解这种强大的加密算法。

Java Paillier算法详解

1. 理论背景

1.1 同态加密

同态加密是一种特殊的加密方式，允许在密文上进行计算，解密后的结果与在明文上执行相同计算的结果一致。Paillier算法是一种加法同态加密算法，即对密文的操作相当于对明文的加法操作。

1.2 公钥加密

Paillier算法是一种公钥加密算法，使用一对密钥：公钥和私钥。公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。

1.3 数论基础

Paillier算法基于数论中的一些概念，如模运算、欧拉函数、Carmichael函数等。理解这些概念对于理解Paillier算法至关重要。

2. 算法概述

2.1 密钥生成

Paillier算法的密钥生成过程包括选择两个大素数 ( p ) 和 ( q )，计算 ( n = p \times q ) 和 ( \lambda = \text{lcm}(p-1, q-1) )，然后选择一个随机数 ( g ) 满足某些条件，最后生成公钥 ( (n, g) ) 和私钥 ( \lambda )。

2.2 加密过程

给定明文 ( m ) 和公钥 ( (n, g) )，加密过程选择一个随机数 ( r )，计算密文 ( c = g^m \times r^n \mod n^2 )。

2.3 解密过程

给定密文 ( c ) 和私钥 ( \lambda )，解密过程计算 ( m = L(c^\lambda \mod n^2) \times \mu \mod n )，其中 ( L(x) = \frac{x-1}{n} )，( \mu ) 是 ( \lambda ) 的模反元素。

3. 算法特点

3.1 加法同态性

Paillier算法具有加法同态性，即 ( E(m_1) \times E(m_2) = E(m_1 + m_2) )。

3.2 随机性

加密过程中引入的随机数 ( r ) 使得相同的明文每次加密后得到的密文不同，增强了安全性。

3.3 安全性

Paillier算法的安全性基于合数剩余类问题的困难性，即在不知道 ( p ) 和 ( q ) 的情况下，难以从 ( n ) 和 ( g ) 推导出 ( \lambda )。

4. 算法的模式

4.1 标准模式

标准模式下，Paillier算法直接使用生成的公钥和私钥进行加密和解密。

4.2 批处理模式

批处理模式下，可以对多个明文进行批量加密和解密，提高效率。

5. 加密过程详细解析

5.1 选择随机数

在加密过程中，选择一个随机数 ( r ) 是保证加密安全性的关键步骤。( r ) 必须与 ( n ) 互质。

5.2 计算密文

密文 ( c ) 的计算公式为 ( c = g^m \times r^n \mod n^2 )。这个公式结合了明文的指数运算和随机数的模运算，确保了加密的随机性和安全性。

6. Java实现此算法的详细步骤

6.1 导入必要的库

import java.math.BigInteger;
import java.security.SecureRandom;

6.2 密钥生成

public class Paillier {
    private BigInteger p, q, n, g, lambda, mu;
    private int bitLength;
    public Paillier(int bitLength) {
        this.bitLength = bitLength;
        generateKeys();
    }
    private void generateKeys() {
        SecureRandom random = new SecureRandom();
        p = new BigInteger(bitLength / 2, 100, random);
        q = new BigInteger(bitLength / 2, 100, random);
        n = p.multiply(q);
        lambda = p.subtract(BigInteger.ONE).multiply(q.subtract(BigInteger.ONE))
                .divide(p.subtract(BigInteger.ONE).gcd(q.subtract(BigInteger.ONE)));
        g = n.add(BigInteger.ONE);
        mu = lambda.modInverse(n);
    }
    public BigInteger getPublicKey() {
        return n;
    }
    public BigInteger getPrivateKey() {
        return lambda;
    }
}

6.3 加密过程

public BigInteger encrypt(BigInteger message) {
    SecureRandom random = new SecureRandom();
    BigInteger r = new BigInteger(bitLength, random);
    while (r.compareTo(n) >= 0 || !r.gcd(n).equals(BigInteger.ONE)) {
        r = new BigInteger(bitLength, random);
    }
    return g.modPow(message, n.multiply(n)).multiply(r.modPow(n, n.multiply(n))).mod(n.multiply(n));
}

6.4 解密过程

public BigInteger decrypt(BigInteger ciphertext) {
    BigInteger u = ciphertext.modPow(lambda, n.multiply(n));
    BigInteger l = u.subtract(BigInteger.ONE).divide(n);
    return l.multiply(mu).mod(n);
}

7. 示例代码并添加详细注释

public class PaillierExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 初始化Paillier算法，设置密钥长度为1024位
        Paillier paillier = new Paillier(1024);
        // 明文
        BigInteger message = new BigInteger("123456");
        // 加密
        BigInteger ciphertext = paillier.encrypt(message);
        System.out.println("Ciphertext: " + ciphertext);
        // 解密
        BigInteger decryptedMessage = paillier.decrypt(ciphertext);
        System.out.println("Decrypted Message: " + decryptedMessage);
    }
}