非齐次线性方程组的通解 如何求解

非齐次线性方程组的通解 如何求解

引用

高三网

1.

http://m.gaosan.com/gaokao/838056.html

非齐次线性方程组的通解可以表示为齐次线性方程组的通解加上一个非齐次线性方程组的特解。求解方式为对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵；求导出组的一个基础解系；求方程组的一个特解；按解的结构写出通解。

非齐次线性方程组的通解怎么求解

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。

一、扩展资料

非齐次线性方程组（Nonhomogeneous linear equations），是指常数项不全为零的线性方程组，表达式为Ax=b。

二、解法

1. 对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

2. 若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

3. 设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

三、解的存在性

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A,b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩。

求非齐次线性方程组解的注意事项

求非齐次线性方程组解的注意事项主要包括以下几个方面：

首先，有解的条件是非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A) = rank(A, b)。如果rank(A) < n，则方程组有无穷多解；如果rank(a) =n，则方程组有唯一解。

其次，通解的结构是非齐次线性方程组的通解可以表示为齐次线性方程组通解加上非齐次线性方程组的一个特解，即\eta = \zeta + \eta^*。这是理解非齐次线性方程组解的关键。

最后，求解步骤包括以下几个步骤：

1. 写出增广矩阵：根据非齐次线性方程组写出增广矩阵。

2. 化简增广矩阵：将增广矩阵通过初等行变换化为最简形式。

3. 求出特解：根据化简后的增广矩阵求出一个特解。

4. 求出齐次线性方程组的通解：求解对应的齐次线性方程组，得到通解。

5. 写出通解：将特解和齐次线性方程组的通解相加，得到非齐次线性方程组的通解。

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