考研数学：高等数学第五模块——级数（1，常数项级数）
考研数学：高等数学第五模块——级数（1，常数项级数）
引言
让我们一起来学习高等数学中的级数部分。虽然级数的概念可能看起来有些复杂，但通过系统的学习，相信你一定能掌握它。
一、常数项级数
1.1 基本概念
常数项级数 —— 设 ${a_n}$ 为常数列，称 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为常数项级数。
常数项级数的收敛与发散 —— 称 $S_n =a_1+a_2+\dots+a_n$ 为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的部分和，若 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 存在，称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，令该极限的值为 $S$，则称级数收敛于 $S$。若该极限不存在，则称级数发散。
1.2 基本性质
性质 1 —— $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=A,\sum_{n=1}^{\infty} v_n=B,$ 则 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n\pm v_n)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n\pm\sum_{n=1}^{\infty} v_n=A\pm B.$
一个收敛的级数加上一个发散的级数，所得结果一定发散。
但是两个发散的级数相加，结果不一定发散。如 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}=0.$
性质 2 —— 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=S,$ 则 $\sum_{n=1}^{\infty} ku_n=kS.$ 若 $k\ne0,$ 两者敛散性相同.
性质 3 —— 级数增加、减少、改变有限项，不改变级数的敛散性，但可能改变级数的和。
性质 4 —— 若一个级数收敛，则任意添加括号后的级数也收敛，反之，若添加括号的级数收敛，则原级数不一定收敛（即添加括号可提高级数收敛的可能性）。
例如，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ 发散，但 $(-1+1)+(-1+1)+\dots$ 收敛。
性质 5 —— （级数收敛的必要条件）
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty}a_n=0;$ 反之则不一定。
证明： 令 $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$，由级数收敛，可知 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 存在，设其值为 $S$。因为 $a_n=S_n-S_{n-1}$，所以 $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}S_n-\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0.$
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n$，尽管 $\lim_{n\to\infty}1/n=0$，但其是发散的。
1.3 两个重要级数
1.3.1 p 级数
（1）定义：形如 $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^p$ 的级数称为 p 级数，当 $p = 1$ 时，称 $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n$ 为调和级数。
（2）敛散性判断
- 当 $p \leq 1$ 时，p 级数发散；特别地，调和级数发散；
- 当 $p > 1$ 时，p 级数收敛。
1.3.2 几何级数
（1）定义：形如 $\sum_{n=1}^{\infty} aq^n(a\ne0)$ 的级数称为几何级数。
（2）敛散性判断
- 当 $|q| \geq 1$ 时，几何级数发散；
- 当 $|q| < 1$ 时，几何级数收敛，且其值为 $S=\frac{a}{1-q}$
1.4 正项级数及其敛散性判断
（一）正项级数的概念
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为常数项级数，若对所有的 $n$ 有 $a_n \geq 0$，称其为正项级数。
正项级数的最大特点是部分和数列 ${S_n}$ 单调递增，有两种情形：
- ${S_n}$ 无上界，则 $\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty$，此时正项级数发散；
- 存在 $M>0$，使得 $S_n \leq M$，此时 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 存在，则正项级数收敛。
（二）正项级数审敛法
我用 Word 敲成表格再截图贴上来吧。
判断正项级数敛散性的一般思路如下：
（1）判断级数是否满足收敛的必要条件，若不满足则级数发散；
（2）若级数一般项是数列相邻两项之差，一般使用定义法；
（3）对一般项满足一定条件的但不具体的正项级数，一般使用使用级数敛散性的性质及判别法；
（4）对一般具体的正项级数，一般使用具体审敛法：若一般项含有阶乘，一般使用比值审敛法；若一般项含有 $n$ 次幂，一般使用根值审敛法；若一般项含有对数，一般使用积分审敛法；其余情形，一般使用比值审敛法。
1.5 交错级数及其审敛法
（一）交错级数的概念
称 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^nu_n$ 或 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{(n-1)}u_n$ 为交错级数，其中 $u_n>0.$
（二）莱布尼兹审敛法
设 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{(n-1)}u_n$ 为交错级数，若级数满足以下两个条件：
（1） ${u_n}$ 单调递减；（2） $\lim_{n\to\infty}u_n=0,$
则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{(n-1)}u_n$ 收敛，且其和不超过 $u_1.$
交错级数收敛的两个条件是充分条件，非必要。
1.6 级数的绝对收敛与条件收敛
（一）基本概念
若 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛。
若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛。
（二）绝对收敛与条件收敛的关系
若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，反之则不一定。
一些笔记和总结：
（1）使用如下口诀可以帮助记忆敛散性判断：添加括号增加级数收敛可能性；一般项趋于 0 的速度越快，级数收敛的可能性越大；添加绝对值，增加收敛可能性。
（2）常数项级数收敛性判断的一班次序：
第一步：看是否满足级数收敛的必要条件；
第二步：看是否可以根据定义判断敛散性；
第三步：确定具体的级数类型，根据前文所述利用各自审敛法判断。
（3）正项级数收敛的充要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n-1}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{2n}$ 都收敛。
（4）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n+u_{n+1)}$ 一定收敛（添加括号提升收敛可能性）。
（5）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 不一定收敛；但若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的正数项级数， $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 一定收敛。
写在最后
常数项级数的理论部分就到这里，后面我们继续学习幂级数的内容。