关于魔方群，你了解多少？
关于魔方群，你了解多少？
魔方不仅是广受欢迎的益智玩具，更是一个充满数学之美的世界。从群论的角度来理解魔方，可以让我们更深入地认识这个看似简单的立方体。本文将带你走进魔方群的世界，探索魔方背后的数学原理。
在说魔方群之前要先了解到什么是群呢？引用 “ 群 ” 的概念：在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，并且符合 “ 群公理 ” 。群公理包含下述四个性质的代数结构。这四个结构是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆匀速。
群在各个领域中是无处不在的，在这里我们只简单讨论有关魔方群的内容。在数学中魔方群是一个群，对应于集合G的所有魔方正常转动可能重新排地所有情形。从解魔方的位置作为一个起点，对于每一个魔方情形与集合G有一对一元素之间的对应关系。
魔方具有对称性。首先是结构形态上，比如3阶魔方是由26个小正方体组成的去心大正方体（去除了中心块）。其实魔方的旋转是基础的对称性操作，所以很容易会想到用群论的方法来研究魔方。魔方的所有变换由6个基本旋转生成，并且这6个旋转关于旋转的合成可以生成一个集合，而这个集合具有群的性质，记做魔方群。
魔方群中的不同元素表示不同的魔方状态，已经还原好的魔方状态称为初始状态，此时魔方每个外表面的9个小面颜色都一样，即为魔方群中的单位元。对于两个魔方状态，如果一个通过魔方的整体旋转使得魔方上的每个小面与另一个魔方上对应的颜色一样，就认为是同一魔方状态，它们对应着魔方群中的同一个元素。
三阶魔方共有54个小色块，但由于中心块不能移动，所以魔方的状态其实是48个小色块的排列组合。魔方群就是所有小色块正常转动可能形成的所有情形。魔方群的运算就是对某一层顺时针旋转90度，表示为RUFBLD，其他操作都是这6步衍生出来的，比如：R'=RRR。这个群就满足以下性质：
封闭性：在数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在这个运算下闭合。显然，对魔方进行任何正常操作得到的状态都还是属于魔方群。
结合律：对于魔方来说，可以将任意一组操作看成是一个操作。比如 OLL 中的一个公式 FRUR'U'F'，在这个公式中 RUR'U' 也就是右手公式经常被看作是一个手法，因此上述公式也可以表示为 F ( RUR'U' ) F'。
单位元：单位元是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当单位元和其他元素结合时，并不会改变哪些元素。对于魔方来说，单位元就是不转它。
逆元素：比如 R 与 R' ，RUR'U 与 URU'R' 等，对一个魔方做打乱公式的逆公式，就还原了。
魔方复原魔方的过程就是小色块和小色块置换的过程，最熟悉的例子是三棱换和三角换。在下图的三棱换中，UF这个棱块要去到UR的位置；UR棱要去UL的位置；UL棱要去UF的位置。
有一点要注意的是魔方群是不满足交换律的，两个操作的先后顺序换了，状态就不一样了，例如下图，先U再R与先R再U就是两种不同的状态。
去除一些非正常状态（比如单独反转一个角块），其他的状态也都是由48个小色块互相置换组合出来的，因此可以将三阶魔方群看成置换群图片的子群（约4325亿亿种状态）。
三阶魔方总变化数的计算方法：
图片来自魔友