椭圆抛物面

椭圆抛物面

椭圆抛物面是二次曲面的一种，具有独特的几何性质和数学特征。从标准方程到各种性质的详细解析，本文将带你深入了解这一重要的数学概念。

标准方程

椭圆抛物面的标准方程是

其中，$p, q > 0$是该椭圆抛物面的轴参数。

性质

以下均在椭圆抛物面的标准方程中讨论。

• 对称性：椭圆抛物面是无心二次曲面，它的对称平面是$yOz, xOz$平面。
• 有界性：$|z| \geqslant 0$。
• 截面：$z = h~(h \geqslant 0)$截椭圆抛物面所得的曲线是椭圆或一点，平行于$yOz, xOz$平面截椭圆抛物面所得的曲线是抛物线。

方程特点

二次曲面的一般方程是
$$F(x,y,z)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_1x+2a_2y+2a_3z+a_0=0$$
其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。 当它是椭圆抛物面时有$I_3 = 0, I_4 < 0.$

• 特征根：椭圆抛物面有一个零特征根以及两个正特征根，标准方程下的特征根是$\dfrac{1}{p}, \dfrac{1}{q}, 0$；
• 主方向：椭圆抛物面有一个奇向以及两个非奇异主方向；
• 渐近方向：椭圆抛物面的渐近方向在$z$轴上；
• 中心：$r = 2 < R = 3$，椭圆抛物面是无心二次曲面；
• 主径面：椭圆抛物面有两个主径面，标准方程下的主径面是$yOz, xOz$平面。

旋转抛物面

旋转抛物面是一种旋转面，也是椭圆抛物面，它是由双曲线
$$\begin{cases} y^2 = 2pz \ x = 0 \end{cases}$$
绕$z$轴旋转所得的，标准方程是$x^2 + y^2 = 2pz.$
空间中到定平面和到定点的距离相等的点的轨迹是旋转抛物面，实际上，如果设定点为$(0, 0, \dfrac{p}{2})^\text{T}$，定平面为$z = - \dfrac{p}{2}$，那么轨迹方程是上述标准方程。