如何理解数学中的梯度(图文版)

如何理解数学中的梯度(图文版)

梯度是数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处变化最快的方向和变化率。本文将从梯度的定义出发，详细讲解梯度的表达式、方向导数与梯度的关系，并通过图像直观地展示梯度与方向导数的关系。

梯度（tī dù）中文意思为坡度。在数学中，它也是坡度，不过是最陡的那个坡的坡度。严格说：梯度是一个向量，其方向为变化最快的那个方向，其大小就是那个方向的变化率。

1 梯度的表达式

由于在数学中,表示描述一个方向上的变化率,用的是方向导数。那么根据前面所说,梯度的值就应该是所有方向导数中的最大者。

定理 . 如果函数

在

点可微分，那么函数

在该点沿任意方向

的方向导数存在。设

的单位方向向量

，则有：

证明 . 因为函数

在

点可微分，所以有：

若

在以

点为起点、方向为

的射线

上时，有：

结合上方向导数的定义，所以：

上面的定理说明,在可微的情况下,我们可以得到方向导数是偏导数的线性组合。其中下标位置的

是这个点的位置。而

和

分别为两个偏导数与方向向量

的夹角。

可微分时方向导数的计算方法可改写如下：

改写后,可以看出方向导数是

在

上的投影。则,当两者不断靠拢时，投影就不会不断变大。而当

与

同向时,所得投影获得最大值。

在我们已经知道了梯度的定义后,就会发现,函数在

方向上的方向导数。它就应该等于,梯度在其方向向量上的投影。

而这里的

,反映在图像上。就是梯度与方向向量

的夹角。这样我们就知道：

• 时，即方向 与梯度 相同时，或者说沿着梯度方向时，方向导数取得最大值：

• 时，即方向 与梯度 相反时，或者说逆着梯度方向时，方向导数取得最小值：

• 时，即方向 与梯度 正交时，方向导数为 ：

3 用梯度表示所有的方向导数

根据这个理论,我们可以做出某二元函数在(0,0)点处,所有的方向导数。其中蓝色向量的模长,表示其所在方向的方向导数，红色向量,为函数在此点处的梯度。