平行世界的桥梁，拉普拉斯变换的威力

平行世界的桥梁，拉普拉斯变换的威力

拉普拉斯变换是数学和工程学中的一个重要工具，它能够将复杂的微分方程转换为更简单的代数方程，从而大大简化问题的求解过程。本文将从定义、性质到具体应用，全面介绍拉普拉斯变换的基本原理及其在解决实际问题中的优势。

定义、示例和性质

在继续之前，我认为有必要先给出一个定义。每次写到这些，我都会意识到我可能会在这里失去一些读者，因为这些内容会让文章看起来有点可怕，但这个理论的美妙之处在于，你可以通过“仅仅”理解总体原则和一些具体例子来走得更远。所以我鼓励大家在放弃阅读之前再多呆一会儿。之后你就会发现一切变得容易得多。

在本文中，我们不会讨论收敛问题，因为它有点太数学，我们都会简单地陈述每当它们收敛时，我们得到的公式都是正确的公式。我们也不会过多谈论时域和复频域（有时称为s域），尽管这是经典方法。

拉普拉斯变换定义如下：

假设您有一个变量t的函数f，那么拉普拉斯变换 ℒ(f) 是变量s的另一个函数F，定义如下：

变量名称背后的原因是，当从物理学角度解释这种变换时，我们将信号视为时间的函数，并以（复）频率输出信号。我们不会具体讨论这个对应关系是什么，但我可以告诉你，它与傅里叶变换也有点关系。

我们注意到这里有一个无穷积分的符号，它可以被下面这个式子解释，即积分上限中的无穷大符号应解释为取极限，即：

当然这里我们会假设这个极限是存在的，现在让我们看一个简单的例子，这样就不会失去活着渡过难关的所有希望。我们做一个最简单的选择，令f(t) = t。根据拉普拉斯变换的定义，并利用一点分部积分的技术可以得到：

在这里，我们一直偷偷使用了L'Hôpital 规则，如果你还没有学过，注意了解到当f(t) = t时，则F(s) = 1/s²。通过更简单地使用上述技术，我们也可以发现当f(t) = 1时，则F(s) = 1/s。

从现在开始，我们不会像上面那样精确地来推导，我们也鼓励读者将本文中未经证实的结果作为练习。让我们看看在“并行”世界中时域中乘以指数是什么样子。

因此，乘以指数函数会改变 s 域中的参数。这是一个比看起来更强大的结果，并且在文献中一次又一次地使用。另外一个重要的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说，我们有：

同理，我们可以对三角函数进行变换。例如，当对函数f(t) = sin(t)进行拉普拉斯变换时，我们多次使用分部积分并求解方程。当尘埃落定后，我们得出以下非常有用的结果：

拉普拉斯变换具有一些非常有用的性质。最基本且在某种意义上最重要的一个是它是一个线性运算符，这意味着以下内容始终成立：

其中F和G分别是f和g的拉普拉斯变换。

另一个极其重要的属性是拉普拉斯变换是一对一的映射，这意味着它具有独特的逆变换。也就是说，无论我们在一个世界做什么，在另一个世界都会有并行的行动。

用拉普拉斯变换证明“世界上最美的方程”

我们曾经在从上帝那儿偷来的公式这篇文章中介绍了一些伟大的数学公式，但是很遗憾我们遗漏了被很多人称为最美公式的东西，正是莱昂哈德·欧拉向我们展示了指数函数与三角函数的关系：

这里i是虚数单位，满足i^2=-1,通常，我们通过展开指数函数的无限幂级数并使用分配律的无限版本等来证明这一点。然而，这需要一些技术论证，许多作者为了简单起见而省略了这些论证。不太为人所知的是，我们也可以使用拉普拉斯变换来证明上面的欧拉结果。

现在我们可以对两边进行拉普拉斯逆变换得到

其中我们使用了逆变换也是线性算子的结果，回到时间域的世界，我们便可以得到：

从微积分到代数然后再返回

拉普拉斯变换拥有的最有用的性质就是可以将导数转化为多项式，具体来说，我们有：

同样的手法，我们还有：

并且这种模式仍在继续。这些公式可能看起来很简单，但它们能够将微分方程转换为更容易求解的多项式方程。在某些情况下，他们甚至将偏微分方程转换为常微分方程。

例子：

假设我们要求解微分方程：

初始条件f(0) = 0和f '(0) = 0。我们对两边进行拉普拉斯变换。

通过代入初始条件并分离 F(s)，我们得到：

让我们在这里暂停一下并欣赏一些事情。首先，复杂的方程变成了代数方程，其次，初始条件自然地被集成到s 域中的解中，因此不再有几个额外的条件，而是将它们全部兼容到一个方程中。现在我们只需对两边进行拉普拉斯逆变换即可求出f。在实践中，我们经常使用部分分数分解，但也可以使用公式。

这只是拉普拉斯变换在微分方程中卓有成效的应用的开始，但不幸的是，我们不会对此进行更详细的介绍。然而，我们需要小心一点，因为拉普拉斯变换仅对正实数上的函数进行变换。它对负轴处的函数一无所知。而这个属于解析数论的范畴了。事实上，在我父母的房子里（在我的旧房间），墙上仍然有一块白板，上面只有一个数学知识：拉普拉斯变换。

在这个世界上，我们所有人几乎都走在一条通往理解的道路上，其中有些人走的更远，但重要的是我们可以都迈出了第一步，走过同样的地形，并且在这个过程中可能绊倒了一千次，不过这些都不重要。好了，今天就到这里吧。