线性代数矩阵秩的概念、性质与应用详解
线性代数矩阵秩的概念、性质与应用详解
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它在线性方程组的解的存在性判定中扮演着关键角色。本文从矩阵的初等变换出发，详细介绍了矩阵秩的定义、计算方法、性质及其在实际问题中的应用。通过本文的学习，读者将能够掌握矩阵秩的相关理论，并能运用这些知识解决实际问题。
一、初等变换中的不变量
对矩阵实施初等变换可以依次化简为行阶梯形、最简行阶梯形和等价标准形，如下面的过程：
以上变换过程中最直观的不变信息就是行阶梯形、最简行阶梯形和等价标准形中 "主元" 数量都是 3 个，这即对应着矩阵的秩，但是这一特征在原始矩阵中体现得并不直观. 为将秩与原始矩阵建立直接联系，首先引入矩阵子式的概念.
定义1在一个矩阵中，任意选定行:和列:，位于这些选定的行和列交叉处的个元素按原来的次序所组成的阶行列式称为的一个阶子式，并记作. 如果阶子式中，则称它为的一个阶主子式. 进一步，称为的阶顺序主子式.
例如，在矩阵
中，选定第 1、3 行和第 2、4 列，行列交叉处的元素所组成的 2 阶子式为
选第 1、2、3行和第 1、2、3列，行列交叉处的元素所组成的 3 阶顺序主子式为
【注】:矩阵的阶子式共有个.
【思考】：设为任一矩阵，其等价标准形为。因，且当时，的阶子式一定包含元素全为零的行，因此的非零子式的最高阶数是. 那么矩阵非零子式的最高阶数是否也是呢?
二、矩阵秩的定义与计算方法
定义 2设是矩阵，称的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩. 记为或。即有一个不等于零的阶子式，且没有不等于零的阶子式，则称为矩阵的最高阶非零子式，并称述为矩阵的秩. 并规定零矩阵的秩为 0.
【注】由定义可知，矩阵的秩是唯一的，但是其最高阶非零子式一般是不唯一的. 根据秩定义，求一个矩阵的秩就是要找出这个矩阵一个非零的阶子式，然后判断比它阶数高的子式都为零. 如果不能找到更高阶的，一般是从 1 阶开始找.
例1求矩阵的秩.
【解】: 矩阵的 1 阶子式个数共有个，可以看到矩阵有 1 阶非零子式. 考虑 2 阶子式，二阶子式有，直接可以看到它的二阶顺序主子式。考虑3阶子式，三阶子式有，分别是 123，124，134，234 列构成的行列式，计算可得
因为它的子式的最高阶数也就是 3 ，所以该矩阵的秩为 3 ，即。
【注】以上利用秩的定义求矩阵的秩的方法显然不可能，如果逐一查找，计算量非常大。
定理：初等变换不改变矩阵的秩.
因此，基于初等变换不改变矩阵的结论，通过对矩阵实施行初等变换，将其转换为行阶梯形求，则行阶梯形中非零行的行数（主元的个数）就等于矩阵的秩；甚至直接使用行初等变换与列初等变换，将矩阵转换为标准形，则标准形中 1 的个数就等于矩阵的秩。
比如矩阵，经过行初等变换和行、列初等变换后，分别得到的行阶梯形与标准形为
故都可以得3. 显然使用该方法要直接、有效。
【注】:设为矩阵，则时，称为行满秩阵，此时；如果时，称为列满秩阵，此时；行满秩的方阵称为满秩矩阵，此时. 显然，满秩矩阵实际上就是可逆矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵或退化矩阵.
例 2求的值，其中，
【解】：对施行初等行变换，有
因为，故，所以.
三、矩阵秩的性质
由定义和初等变换对矩阵的变换可知:
(1)当且仅当有一个阶子式不为 0 ，且任意阶子式（如果存在的话）全为零（即阶数大于的子式全为零）
(2)，且当且仅当。
(3).
(4).
(5) 初等变换不改变矩阵的秩.
(6) 一个矩阵的等价标准形是唯一的. 等价标准形中 1 的个数等于矩阵的秩.
(7) 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.
(8) 同型矩阵等价的充要条件是秩相同，即有相同的等价标准形.
(9)阶方阵可逆的充要条件是，即为满秩矩阵。
(10) 如果是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵，是矩阵，那么
(11);.
(14).
(15) 设为矩阵，为矩阵，则
(16) 设与为同型矩阵，则
(17) 若为矩阵，为矩阵，则有
特别地，当时，有
例3设阶方阵满足，证明：
【证明】：由，有，故，故由性质
可得. 另一方面，
所以所证结论成立.
例4设为阶方阵，则有
【证明】：(1) 当时，. 又
即， 所以。
（2）当时，，从而。故，于是由
得, 即又至少有一个阶子式不为 0 ，从而至少有一个非零元素，即， 所以。综上即得。
（3）当时，的阶子式都为 0 ，从而，故。
四、矩阵的秩与线性方程组解的存在性
设元线性方程组的系数矩阵、未知数、常数项构成的列矩阵及增广矩阵分别为
不妨系数矩阵，则由秩的性质可知，
进一步可得或. 即当增广矩阵的最简行阶梯形为
时，若，则
若，则
将以上最简行阶梯形还原求解可得:
(1) 若，此时还原所得同解方程组中第个方程为是矛盾方程，从而线性方程组无解；
(2) 若，此对最简行阶梯形为
还原所得同解方程组为，从而线性方程组有唯一解；
（3）若，此对最简行阶梯形为
还原所得同解方程组为
约定主元所在列对应的未知数称为基本未知量，对基本未知量进行求解，即将包含其余未知数的项移项到方程的右侧，得
令自由末知量
代入求解得线性方程组的通解为
上述结果可以改写成列矩阵的的描述形式，也即通常得到的线性方程组解的通项表达式
其中可以任意取值，因此线性方程组有无穷多解.
定理对非齐次线性方程组:
（1）无解的充要条件是；
（2）有唯一解的充要条件是；
（3）有无穷多解的充要条件是.
【注】：上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是，且自由未知数的个数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩，即.
推论齐次线性方程组有非零解 (无穷多解) 的充要条件是，即系数矩阵的秩小于末知数个数.
例 5求解下列线性方程组:
(1)
(2)
【解】：(1)对增广矩阵实施行的初等变换，有
故，故方程组无解.
(2)对增广矩阵实施行的初等变换，有
故，方程组有无穷多个解且自由向量个数为. 其通解方程组为
故方程组通解为，写成列矩阵形式即为
其中为任意常数.
例 6设矩阵
问：当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解? 在有解时，求解此方程.
【解】：对系数矩阵与常数项构成的增广矩阵做初等行变换，有
(1) 当，即时，有且，此时方程有唯一解. 对上面的矩阵继续实施行的初等变换，可得
所以矩阵方程的唯一解为.
【注】或者设
代入，解得.
（2）当，代入增广矩阵的初等变换后矩阵，有
由于，故方程无解。
【注】或由(*)与其等价方程，从而可得，矛盾! 因此方程组无解.
（3）当，代入增广矩阵的初等变换后矩阵，有
此时，方程组有无穷多解，将(*)代入可得
解得. 设为自由未知量，则可得
其中为任意常数.
练习题
1、判断正误，并说明理由.
(1) 已知为阶方阵，若，则一定有一行元素全为 0 。
(2) 已知为阶方阵，若，则一定有两行元素对应成比例.
(3) 若，则的所有阶子式都不为 0 。
(4) 已知都是阶非零方阵，且，则与的秩都小于.
(5) 若是矩阵，是矩阵，当时，则。
(6) 设是矩阵，且，则。
(7) 矩阵与等价的充要条件是.
(8) 若只有零解，则有唯一解。
(9) 若有唯一解，则只有零解.
(10) 若有非零解，则也有非零解。
(11) 设是矩阵，若，则一定有解。
(12) 设是阶满秩矩阵，将的前列构成的矩阵记为的第列构成列矩阵，则线性方程组与均只有唯一解.
2、用初等行变换求以下矩阵的秩.
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
3、选择题.
(1)已知为三阶非零矩阵，，下列结论一定成立的是
(A)时，
(B)时，
(C)时，
(D)时，
(2)设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为 1，则。
(A)或
(B)或
(C)或
(D)或
(3)如图所示，有 3 张平面两两相交，交线互相平行，它们的方程为
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则()
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)设是矩阵，，其秩，则（）.
(A) 存在阶不可逆矩阵，使
(B) 存在阶可逆矩阵，使
(C) 齐次线性方程组只有零解
(D) 非齐次线性方程组一定有无穷多解
(5)设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）。
(A) 当时，仅有零解
(B) 当时，必有非零解
(C) 当时，仅有零解
(D) 当时，必有非零解
(6)设均为矩阵，给定下面四个命题:
① 若的解均是的解，则
② 若，则的解均是的解
③ 若与同解，则
④ 若，则与同解
则上述命题正确的是()
(A) ①② (B) ①③
(C) ②④ (D) ③④
(7)若齐次线性方程组仅有零解，则 ()
(A)或(B)或
(C)且(D)且
4、试确定参数和，使矩阵
的秩达到最小?
5、设是矩阵，,
求。
6、设阶方阵
的秩为，求的值.
7、设为阶方阵，且，证明：，其中为方阵主对角线上所有元素的和，即.
8、设阶方阵满足， 证明：
9、设矩阵
且方程组无解。
(1) 求的值;
(2) 求方程组的通解.
10、设元线性方程组
的系数矩阵的秩与阶矩阵
的秩相等，证明此线性方程组必有解.
补充题
1、设矩阵满足且是列满秩的，证明列满秩当且仅当列满秩.
2、设矩阵为矩阵，则的充要条件是存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得.
3、证明分块矩阵的秩有以下性质:
(1).
(2).
(3).
4、设, 其中，证明: 若，则有解.
5、证明: 方程组
对任何都有解的充要条件是方程组的系数行列式不为零.
6、证明: 齐次线性方程组
当所有均为整数时有唯一解.